Номер 16, страница 75, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Молекулярная физика и термодинамика. Глава VI. Термодинамика. Параграф 33. Тепловые двигатели. Второй закон термодинамики - номер 16, страница 75.

Условие.

16. С данной массой одноатомного газа осуществляют циклический процесс. Сначала при изохорном нагревании давление газа увеличивают в 3 раза, затем при изобарном нагревании объём газа увеличивают на 50 %. Потом газ изохорно охлаждают и, наконец, возвращают в начальное состояние с помощью изобарного охлаждения. Изобразите график цикла в наиболее удобных координатах и найдите его КПД.

Решение 2.

Дано:

Газ - одноатомный.
Процесс 1-2: изохорный нагрев ($V=const$).
$p_2 = 3p_1$.
Процесс 2-3: изобарный нагрев ($p=const$).
$V_3 = V_2 + 0.5V_2 = 1.5V_2$.
Процесс 3-4: изохорное охлаждение ($V=const$).
Процесс 4-1: изобарное охлаждение ($p=const$).

Найти:

1. График цикла в наиболее удобных координатах.
2. КПД цикла $\eta$.

Решение:

1. Построение графика цикла
Наиболее удобными для анализа термодинамических циклов являются координаты давление-объем (p, V). Определим параметры газа в каждом из четырех состояний цикла, приняв начальные параметры за $p_1, V_1, T_1$.

Состояние 1 (начальное): ($p_1, V_1$).

Процесс 1-2 (изохорный нагрев):
Объем постоянен: $V_2 = V_1$.
Давление увеличивается в 3 раза: $p_2 = 3p_1$.
Состояние 2: ($3p_1, V_1$).

Процесс 2-3 (изобарный нагрев):
Давление постоянно: $p_3 = p_2 = 3p_1$.
Объем увеличивается на 50%: $V_3 = 1.5V_2 = 1.5V_1$.
Состояние 3: ($3p_1, 1.5V_1$).

Процесс 3-4 (изохорное охлаждение):
Объем постоянен: $V_4 = V_3 = 1.5V_1$.
Чтобы цикл замкнулся, процесс 4-1 должен быть изобарным, следовательно, давление в состоянии 4 должно быть равно давлению в состоянии 1: $p_4 = p_1$.
Состояние 4: ($p_1, 1.5V_1$).

Процесс 4-1 (изобарное охлаждение):
Газ возвращается из состояния 4 ($p_1, 1.5V_1$) в состояние 1 ($p_1, V_1$) при постоянном давлении $p_1$.

Таким образом, в координатах (p, V) цикл представляет собой прямоугольник, обходимый по часовой стрелке, с вершинами в точках:
1: ($V_1, p_1$)
2: ($V_1, 3p_1$)
3: ($1.5V_1, 3p_1$)
4: ($1.5V_1, p_1$)
График состоит из следующих процессов: 1-2 (вертикальный подъем), 2-3 (горизонтальное движение вправо), 3-4 (вертикальный спуск), 4-1 (горизонтальное движение влево).

2. Нахождение КПД цикла
Коэффициент полезного действия (КПД) теплового двигателя определяется по формуле:
$\eta = \frac{A_{полезная}}{Q_{нагревателя}}$
где $A_{полезная}$ — полезная работа, совершенная газом за цикл, а $Q_{нагревателя}$ — количество теплоты, полученное газом от нагревателя.

Полезная работа за цикл $A_{полезная}$ численно равна площади фигуры, ограниченной графиком цикла в координатах (p, V). В данном случае это площадь прямоугольника:
$A_{полезная} = (p_3 - p_4) \cdot (V_3 - V_2) = (3p_1 - p_1) \cdot (1.5V_1 - V_1) = (2p_1) \cdot (0.5V_1) = p_1V_1$.

Газ получает теплоту от нагревателя на участках, где его температура растет. Это участки нагрева: 1-2 (изохорный) и 2-3 (изобарный).
$Q_{нагревателя} = Q_{12} + Q_{23}$.

Количество теплоты на участке 1-2 (изохорный нагрев, $V=const$):
$Q_{12} = \Delta U_{12} = C_V \Delta T_{12}$.
Для одноатомного газа молярная теплоемкость при постоянном объеме $C_V = \frac{3}{2} \nu R$.
$Q_{12} = \frac{3}{2} \nu R (T_2 - T_1)$.
Используя уравнение состояния идеального газа ($pV = \nu RT$), можем записать:
$Q_{12} = \frac{3}{2} (p_2V_2 - p_1V_1) = \frac{3}{2} (3p_1V_1 - p_1V_1) = \frac{3}{2} (2p_1V_1) = 3p_1V_1$.

Количество теплоты на участке 2-3 (изобарный нагрев, $p=const$):
$Q_{23} = C_p \Delta T_{23}$.
Для одноатомного газа молярная теплоемкость при постоянном давлении $C_p = \frac{5}{2} \nu R$.
$Q_{23} = \frac{5}{2} \nu R (T_3 - T_2) = \frac{5}{2} (p_3V_3 - p_2V_2)$.
$Q_{23} = \frac{5}{2} (3p_1 \cdot 1.5V_1 - 3p_1V_1) = \frac{5}{2} (4.5p_1V_1 - 3p_1V_1) = \frac{5}{2} (1.5p_1V_1) = 3.75p_1V_1$.

Суммарное количество теплоты, полученное от нагревателя:
$Q_{нагревателя} = Q_{12} + Q_{23} = 3p_1V_1 + 3.75p_1V_1 = 6.75p_1V_1$.

Теперь можем рассчитать КПД:
$\eta = \frac{A_{полезная}}{Q_{нагревателя}} = \frac{p_1V_1}{6.75p_1V_1} = \frac{1}{6.75} = \frac{1}{27/4} = \frac{4}{27}$.
Выразим КПД в процентах:
$\eta = \frac{4}{27} \cdot 100\% \approx 14.8\%$.

Ответ: График цикла в координатах (p, V) представляет собой прямоугольник. КПД цикла составляет $\eta = \frac{4}{27}$ (или примерно 14.8%).