Номер 18, страница 115, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Электростатика и постоянный электрический ток. Глава VII. Электростатика. Параграф 37. Проводники и диэлектрики в электрическом поле - номер 18, страница 115.

Условие.

18. Два одноимённо заряженных шарика соединены пластмассовой горизонтальной пружиной. Когда шарики находятся в воздухе, длина пружины равна 18 см, а когда шарики вместе с пружиной погружены в керосин, длина пружины равна 16 см. Чему равна длина недеформированной пружины?

Решение 2.

Дано:

Длина пружины в воздухе $l_1 = 18$ см

Длина пружины в керосине $l_2 = 16$ см

Диэлектрическая проницаемость воздуха $\epsilon_{возд} \approx 1$

Диэлектрическая проницаемость керосина (справочное значение) $\epsilon = 2$

Перевод в СИ:

$l_1 = 0.18$ м

$l_2 = 0.16$ м

Найти:

Длину недеформированной пружины $l_0$.

Решение:

Когда система находится в равновесии, сила электростатического отталкивания $F_e$ между одноимённо заряженными шариками уравновешивается силой упругости пружины $F_s$, которая стремится сжать пружину. Таким образом, пружина находится в растянутом состоянии.

Согласно закону Гука, сила упругости пружины пропорциональна её удлинению:

$F_s = k_{spring}(l - l_0)$, где $k_{spring}$ — жёсткость пружины, $\text{l}$ — её текущая длина, а $l_0$ — длина в недеформированном состоянии.

Согласно закону Кулона, сила электростатического взаимодействия в среде с диэлектрической проницаемостью $\epsilon$ определяется как:

$F_e = \frac{1}{\epsilon} \frac{K|q_1 q_2|}{l^2}$, где $\text{K}$ — коэффициент пропорциональности в законе Кулона, $q_1, q_2$ — заряды шариков.

Запишем условия равновесия для двух случаев.

1. Шарики в воздухе:

Диэлектрическая проницаемость воздуха $\epsilon_{возд} \approx 1$. Длина пружины $l_1 = 18$ см.

Условие равновесия: $F_{e1} = F_{s1}$

$\frac{K|q_1 q_2|}{l_1^2} = k_{spring}(l_1 - l_0)$ (1)

2. Шарики в керосине:

Диэлектрическая проницаемость керосина $\epsilon = 2$. Длина пружины $l_2 = 16$ см.

Условие равновесия: $F_{e2} = F_{s2}$

$\frac{1}{\epsilon} \frac{K|q_1 q_2|}{l_2^2} = k_{spring}(l_2 - l_0)$ (2)

Для решения системы разделим уравнение (1) на уравнение (2):

$\frac{ \frac{K|q_1 q_2|}{l_1^2} }{ \frac{1}{\epsilon} \frac{K|q_1 q_2|}{l_2^2} } = \frac{k_{spring}(l_1 - l_0)}{k_{spring}(l_2 - l_0)}$

Сократив неизвестные величины $K|q_1 q_2|$ и $k_{spring}$, получим:

$\frac{\epsilon l_2^2}{l_1^2} = \frac{l_1 - l_0}{l_2 - l_0}$

Выразим из этого уравнения искомую величину $l_0$ через известные параметры. Используем метод перекрёстного умножения:

$\epsilon l_2^2 (l_2 - l_0) = l_1^2 (l_1 - l_0)$

$\epsilon l_2^3 - \epsilon l_2^2 l_0 = l_1^3 - l_1^2 l_0$

$l_1^2 l_0 - \epsilon l_2^2 l_0 = l_1^3 - \epsilon l_2^3$

$l_0(l_1^2 - \epsilon l_2^2) = l_1^3 - \epsilon l_2^3$

$l_0 = \frac{l_1^3 - \epsilon l_2^3}{l_1^2 - \epsilon l_2^2}$

Подставим числовые значения. Для удобства вычислений можно использовать длины в сантиметрах, так как единицы измерения сократятся.

$l_0 = \frac{18^3 - 2 \cdot 16^3}{18^2 - 2 \cdot 16^2} = \frac{5832 - 2 \cdot 4096}{324 - 2 \cdot 256} = \frac{5832 - 8192}{324 - 512} = \frac{-2360}{-188}$

$l_0 = \frac{2360}{188} = \frac{590}{47}$ см

Для получения численного значения выполним деление:

$l_0 \approx 12.553$ см

Ответ: длина недеформированной пружины равна $\frac{590}{47}$ см, что приблизительно составляет 12,55 см.