Номер 18, страница 121, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Электростатика и постоянный электрический ток. Глава VII. Электростатика. Параграф 38. Работа электрического поля. Разность потенциалов (напряжение) - номер 18, страница 121.

Условие.

18. Электрон влетает в однородное электростатическое поле со скоростью $8 \cdot 10^6 \text{ м/с}$, направление которой совпадает с направлением линий напряжённости поля. Модуль напряжённости поля $10^4 \text{ В/м}$.

а) Через какой промежуток времени электрон вернётся в начальную точку?

б) Какой путь проделает электрон до возвращения в начальную точку?

в) Чему равна разность потенциалов между точками, в которых скорость электрона принимала максимальное и минимальное значения?

Решение 2.

Дано:

Начальная скорость электрона, $v_0 = 8 \cdot 10^6$ м/с.

Модуль напряженности поля, $E = 10^4$ В/м.

Заряд электрона, $e \approx 1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл (по модулю).

Масса электрона, $m_e \approx 9.1 \cdot 10^{-31}$ кг.

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

а) Время возвращения в начальную точку, $\text{t}$ - ?

б) Путь, пройденный электроном, $\text{S}$ - ?

в) Разность потенциалов, $\text{U}$ - ?

Решение:

Электрон имеет отрицательный заряд ($q = -e$), поэтому сила, действующая на него со стороны электрического поля ($\vec{F} = q\vec{E}$), направлена против вектора напряженности $\vec{E}$. Поскольку начальная скорость электрона $\vec{v}_0$ сонаправлена с $\vec{E}$, сила будет направлена против начальной скорости. Это означает, что электрон будет двигаться равнозамедленно, остановится, а затем будет двигаться равноускоренно в обратном направлении, возвращаясь в исходную точку.

Сила, действующая на электрон, по модулю равна $F = eE$.

Согласно второму закону Ньютона, эта сила сообщает электрону ускорение (торможения) $\text{a}$: $F = m_e a$, откуда $a = \frac{eE}{m_e}$.

Вычислим модуль ускорения: $a = \frac{1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 10^4 \text{ В/м}}{9.1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}} \approx 1.76 \cdot 10^{15} \text{ м/с}^2$.

а) Через какой промежуток времени электрон вернётся в начальную точку?

Движение электрона до точки остановки и обратно является симметричным. Поэтому общее время движения $\text{t}$ равно удвоенному времени до остановки $t_{stop}$.

Найдем время до остановки из уравнения скорости для равнозамедленного движения $v(t) = v_0 - at$. В момент остановки конечная скорость $v = 0$: $0 = v_0 - at_{stop} \implies t_{stop} = \frac{v_0}{a}$.

Тогда полное время движения равно: $t = 2t_{stop} = \frac{2v_0}{a} = \frac{2 \cdot 8 \cdot 10^6 \text{ м/с}}{1.76 \cdot 10^{15} \text{ м/с}^2} = \frac{16 \cdot 10^6}{1.76 \cdot 10^{15}} \text{ с} \approx 9.09 \cdot 10^{-9}$ с.

Ответ: $t \approx 9.1 \cdot 10^{-9}$ с (или 9.1 нс).

б) Какой путь проделает электрон до возвращения в начальную точку?

Полный путь $\text{S}$ равен удвоенному расстоянию до точки остановки $S_{max}$.

Расстояние до точки остановки можно найти по формуле для пути при равнозамедленном движении: $S_{max} = \frac{v_0^2}{2a}$.

Тогда полный путь: $S = 2S_{max} = 2 \cdot \frac{v_0^2}{2a} = \frac{v_0^2}{a}$.

Подставим значения: $S = \frac{(8 \cdot 10^6 \text{ м/с})^2}{1.76 \cdot 10^{15} \text{ м/с}^2} = \frac{64 \cdot 10^{12}}{1.76 \cdot 10^{15}} \text{ м} \approx 0.0364$ м.

Ответ: $S \approx 0.036$ м (или 3.6 см).

в) Чему равна разность потенциалов между точками, в которых скорость электрона принимала максимальное и минимальное значения?

Максимальная скорость $v_{max} = v_0$ была в начальной точке. Минимальная скорость $v_{min} = 0$ была в точке остановки (в точке максимального удаления).

Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии: работа электрического поля $\text{A}$ равна изменению кинетической энергии электрона $\Delta W_k$. $A = \Delta W_k = W_{k, \text{конечная}} - W_{k, \text{начальная}} = \frac{m_e v_{min}^2}{2} - \frac{m_e v_{max}^2}{2} = 0 - \frac{m_e v_0^2}{2}$.

Работа электрического поля также выражается через разность потенциалов $\text{U}$ между начальной и конечной точками: $A = qU = -eU$.

Приравнивая два выражения для работы, получаем: $-eU = -\frac{m_e v_0^2}{2}$.

Отсюда находим искомую разность потенциалов $\text{U}$: $U = \frac{m_e v_0^2}{2e}$.

Подставим числовые значения: $U = \frac{9.1 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot (8 \cdot 10^6 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}} = \frac{9.1 \cdot 64 \cdot 10^{-31} \cdot 10^{12}}{3.2 \cdot 10^{-19}} \text{ В} = \frac{582.4 \cdot 10^{-19}}{3.2 \cdot 10^{-19}} \text{ В} = 182$ В.

Ответ: $U = 182$ В.