Номер 29, страница 132, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Электростатика и постоянный электрический ток. Глава VII. Электростатика. Параграф 39. Электроёмкость. Энергия электрического поля - номер 29, страница 132.

Условие.

29. В пространство между обкладками плоского воздушного конденсатора влетает электрон с начальной скоростью $5 \cdot 10^7$ м/с, направленной параллельно обкладкам, на расстоянии 5 мм от каждой из них. Длина каждой обкладки 10 см.

а) Какой должна быть разность потенциалов между обкладками конденсатора, чтобы электрон не смог пролететь сквозь весь конденсатор?

б) На какую из обкладок попадёт электрон, если он не пролетит сквозь весь конденсатор?

в) На каком расстоянии от положительно заряженной обкладки будет находиться электрон при вылете из конденсатора, если разность потенциалов между его обкладками будет равна 100 В?

г) Чему будет равен тангенс угла между скоростью электрона и горизонталью в момент его вылета из конденсатора при разности потенциалов между его обкладками 100 В?

д) Изменится ли потенциальная энергия электрона за время его движения в конденсаторе? Если да, то как: увеличится или уменьшится?

е) Изменится ли кинетическая энергия электрона за время движения в конденсаторе? Если да, то как: увеличится или уменьшится?

Решение 2.

Дано:
Начальная скорость электрона, $v_0 = 5 \cdot 10^7$ м/с
Начальное расстояние от каждой обкладки, $y_0 = 5$ мм
Длина обкладок, $L = 10$ см
Разность потенциалов (для пунктов в, г), $U_1 = 100$ В
Заряд электрона (по модулю), $e \approx 1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл
Масса электрона, $m_e \approx 9.1 \cdot 10^{-31}$ кг

Перевод в систему СИ:
Расстояние между обкладками, $d = 2 \cdot y_0 = 2 \cdot 5 \text{ мм} = 10 \text{ мм} = 0.01$ м
Длина обкладок, $L = 10 \text{ см} = 0.1$ м

Найти:
а) $\text{U}$ - ? (чтобы электрон не пролетел)
б) На какую обкладку попадёт электрон?
в) $h_{pos}$ - ? (расстояние до положительной обкладки при вылете при $U_1 = 100$ В)
г) $\tan\alpha$ - ? (при вылете при $U_1 = 100$ В)
д) Как изменится потенциальная энергия?
е) Как изменится кинетическая энергия?

Решение:
Движение электрона в конденсаторе можно разложить на два независимых движения: равномерное движение вдоль обкладок (ось OX) и равноускоренное движение перпендикулярно обкладкам (ось OY) под действием электрического поля.
Напряженность электрического поля в конденсаторе: $E = U/d$.
Сила, действующая на электрон со стороны поля: $F = eE = eU/d$. Эта сила направлена против вектора напряженности, то есть к положительно заряженной обкладке.
Ускорение, сообщаемое электрону: $a = F/m_e = eU/(m_e d)$.
Время пролета электрона вдоль обкладок длиной $\text{L}$ равно $t = L/v_0$.
За это время электрон смещается перпендикулярно обкладкам на расстояние $h = \frac{at^2}{2}$.

а) Какой должна быть разность потенциалов между обкладками, чтобы электрон не смог пролететь сквозь весь конденсатор?
Чтобы электрон не смог пролететь сквозь конденсатор, он должен коснуться одной из обкладок. Поскольку он влетает посередине, его смещение по вертикали должно быть равно половине расстояния между обкладками, то есть $h = d/2$.
Подставим выражения для $\text{h}$ и $\text{t}$:
$\frac{d}{2} = \frac{at^2}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{eU}{m_e d} \cdot (\frac{L}{v_0})^2$
Выразим разность потенциалов $\text{U}$:
$d = \frac{eU L^2}{m_e d v_0^2} \implies U = \frac{m_e d^2 v_0^2}{e L^2}$
Подставим числовые значения:
$U = \frac{(9.1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (0.01 \text{ м})^2 \cdot (5 \cdot 10^7 \text{ м/с})^2}{(1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}) \cdot (0.1 \text{ м})^2} = \frac{9.1 \cdot 10^{-31} \cdot 10^{-4} \cdot 25 \cdot 10^{14}}{1.6 \cdot 10^{-19} \cdot 10^{-2}} \approx 142.2$ В.
Это минимальная разность потенциалов, при которой электрон коснется края обкладки. Чтобы он не пролетел, разность потенциалов должна быть не меньше этого значения.
Ответ: Разность потенциалов должна быть не менее 142.2 В.

б) На какую из обкладок попадёт электрон, если он не пролетит сквозь весь конденсатор?
Электрон имеет отрицательный заряд. Электрическое поле в конденсаторе направлено от положительно заряженной обкладки к отрицательно заряженной. Сила, действующая на отрицательный заряд в электрическом поле, направлена против вектора напряженности поля. Следовательно, электрон будет отклоняться в сторону положительно заряженной обкладки и при достаточной разности потенциалов попадёт на неё.
Ответ: Электрон попадёт на положительно заряженную обкладку.

в) На каком расстоянии от положительно заряженной обкладки будет находиться электрон при вылете из конденсатора, если разность потенциалов между его обкладками будет равна 100 В?
Поскольку $100 \text{ В} < 142.2 \text{ В}$, электрон вылетит из конденсатора, не коснувшись обкладок.
Время полета внутри конденсатора: $t = \frac{L}{v_0} = \frac{0.1 \text{ м}}{5 \cdot 10^7 \text{ м/с}} = 2 \cdot 10^{-9}$ с.
Вертикальное смещение $\text{h}$ за это время:
$h = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} \frac{e U_1}{m_e d} t^2 = \frac{1}{2} \frac{(1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}) \cdot 100 \text{ В}}{(9.1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot 0.01 \text{ м}} (2 \cdot 10^{-9} \text{ с})^2 \approx 0.0035$ м = 3.5 мм.
Электрон влетает на расстоянии $d/2 = 5$ мм от каждой обкладки. Его смещение в 3.5 мм происходит в сторону положительной обкладки. Таким образом, расстояние до положительной обкладки при вылете составит:
$h_{pos} = d/2 - h = 5 \text{ мм} - 3.5 \text{ мм} = 1.5$ мм.
Ответ: Электрон будет находиться на расстоянии 1.5 мм от положительно заряженной обкладки.

г) Чему будет равен тангенс угла между скоростью электрона и горизонталью в момент его вылета из конденсатора при разности потенциалов между его обкладками 100 В?
Скорость электрона имеет две компоненты: горизонтальную $v_x = v_0$ и вертикальную $v_y = at$.
В момент вылета $t = L/v_0$, поэтому $v_y = a \frac{L}{v_0} = \frac{e U_1}{m_e d} \frac{L}{v_0}$.
Тангенс угла наклона вектора скорости к горизонтали равен отношению вертикальной компоненты скорости к горизонтальной:
$\tan\alpha = \frac{v_y}{v_x} = \frac{e U_1 L}{m_e d v_0^2}$
Подставим числовые значения:
$\tan\alpha = \frac{(1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}) \cdot 100 \text{ В} \cdot 0.1 \text{ м}}{(9.1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot 0.01 \text{ м} \cdot (5 \cdot 10^7 \text{ м/с})^2} \approx 0.07$
Ответ: Тангенс угла будет равен примерно 0.07.

д) Изменится ли потенциальная энергия электрона за время его движения в конденсаторе? Если да, то как: увеличится или уменьшится?
Потенциальная энергия заряда в электрическом поле определяется формулой $W_p = q\phi$. Электрон ($q = -e$) движется к положительной обкладке, то есть в сторону увеличения электрического потенциала $\phi$. Так как заряд электрона отрицателен, а потенциал в точке, к которой он движется, выше, чем в начальной, его потенциальная энергия $W_p = -e\phi$ уменьшится.
Ответ: Потенциальная энергия электрона уменьшится.

е) Изменится ли кинетическая энергия электрона за время его движения в конденсаторе? Если да, то как: увеличится или уменьшится?
Кинетическая энергия определяется формулой $W_k = \frac{mv^2}{2}$. Электрическое поле совершает над электроном положительную работу, так как сила, действующая на электрон, сонаправлена с его перемещением по вертикали. Согласно теореме о кинетической энергии, работа поля идет на увеличение кинетической энергии частицы. Горизонтальная составляющая скорости не меняется ($v_x = v_0$), а вертикальная появляется и растет ($v_y > 0$). Полная скорость $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ увеличивается, следовательно, кинетическая энергия тоже увеличивается.
Ответ: Кинетическая энергия электрона увеличится.