Номер 45, страница 146, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Электростатика и постоянный электрический ток. Глава VIII. Постоянный электрический ток. Параграф 40. Закон Ома для участка цепи - номер 45, страница 146.

Условие.

45. На рисунке 40.12 изображены графики зависимости силы тока в двух медных проводах от напряжения на их концах.

а) Диаметр какого провода больше, если длина проводов одинакова? Во сколько раз больше?

б) Длина какого провода больше, если диаметр проводов одинаков? Во сколько раз больше?

Рис. 40.12

Решение 2.

Дано:

График зависимости $I(U)$ для двух медных проводов (1 и 2).

Удельное сопротивление проводов одинаково: $\rho_1 = \rho_2 = \rho$.

В случае а) длины проводов одинаковы: $L_1 = L_2$.

В случае б) диаметры проводов одинаковы: $d_1 = d_2$.

Найти:

а) Какой диаметр больше и во сколько раз?

б) Какая длина больше и во сколько раз?

Решение

На графике представлена зависимость силы тока $\text{I}$ от напряжения $\text{U}$ (вольт-амперная характеристика). Согласно закону Ома, сопротивление проводника $\text{R}$ можно определить по формуле $R = \frac{U}{I}$. Из этой формулы следует, что при одинаковом напряжении $\text{U}$ сила тока $\text{I}$ обратно пропорциональна сопротивлению $\text{R}$.

Из графика видно, что при одном и том же напряжении $\text{U}$ (например, 4 клетки по горизонтали), сила тока в первом проводнике ($I_1 = 4$ клетки) больше, чем во втором ($I_2 = 2$ клетки). Следовательно, сопротивление первого проводника меньше сопротивления второго: $R_1 < R_2$.

Найдем соотношение сопротивлений. Возьмем на графике точку, где напряжение $\text{U}$ соответствует 4 условным единицам (клеткам). Для этой точки токи равны $I_1 = 4$ усл. ед. и $I_2 = 2$ усл. ед. Тогда отношение сопротивлений:

$\frac{R_2}{R_1} = \frac{U/I_2}{U/I_1} = \frac{I_1}{I_2} = \frac{4 \text{ усл. ед.}}{2 \text{ усл. ед.}} = 2$

Таким образом, сопротивление второго проводника в 2 раза больше сопротивления первого: $R_2 = 2R_1$.

Сопротивление проводника также зависит от его геометрических размеров и материала по формуле: $R = \rho \frac{L}{S}$, где $\rho$ – удельное сопротивление материала, $\text{L}$ – длина провода, $\text{S}$ – площадь поперечного сечения. Площадь поперечного сечения связана с диаметром $\text{d}$ как $S = \frac{\pi d^2}{4}$. Подставив это в формулу сопротивления, получим: $R = \frac{4\rho L}{\pi d^2}$.

а) Диаметр какого провода больше, если длина проводов одинакова? Во сколько раз больше?

По условию, $L_1 = L_2 = L$ и $\rho_1 = \rho_2 = \rho$. Из формулы $R = \frac{4\rho L}{\pi d^2}$ следует, что при одинаковых $\rho$ и $\text{L}$ сопротивление обратно пропорционально квадрату диаметра: $R \propto \frac{1}{d^2}$.

Так как $R_1 < R_2$, то $\frac{1}{d_1^2} < \frac{1}{d_2^2}$, что означает $d_1^2 > d_2^2$, и, следовательно, $d_1 > d_2$. Диаметр первого провода больше.

Найдем, во сколько раз он больше, используя найденное отношение сопротивлений:

$\frac{R_2}{R_1} = \frac{4\rho L / (\pi d_2^2)}{4\rho L / (\pi d_1^2)} = \frac{d_1^2}{d_2^2}$

Так как $\frac{R_2}{R_1} = 2$, получаем:

$\frac{d_1^2}{d_2^2} = 2$

$\frac{d_1}{d_2} = \sqrt{2} \approx 1.41$

Ответ: Диаметр первого провода больше, чем второго, в $\sqrt{2}$ раз (примерно в 1,41 раза).

б) Длина какого провода больше, если диаметр проводов одинаков? Во сколько раз больше?

По условию, $d_1 = d_2 = d$ (значит, и площади сечения $S_1 = S_2 = S$) и $\rho_1 = \rho_2 = \rho$. Из формулы $R = \rho \frac{L}{S}$ следует, что при одинаковых $\rho$ и $\text{S}$ сопротивление прямо пропорционально длине: $R \propto L$.

Так как $R_1 < R_2$, то и $L_1 < L_2$. Длина второго провода больше.

Найдем, во сколько раз она больше, используя найденное отношение сопротивлений:

$\frac{R_2}{R_1} = \frac{\rho L_2 / S}{\rho L_1 / S} = \frac{L_2}{L_1}$

Так как $\frac{R_2}{R_1} = 2$, получаем:

$\frac{L_2}{L_1} = 2$

Ответ: Длина второго провода больше, чем первого, в 2 раза.