Номер 6, страница 39 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Упражнения. Параграф 6. Сложение движений. Преобразования Галилея. Глава 1. Кинематика. Механика - номер 6, страница 39.

Условие.

*6.Определите модуль перемещения первой черепахи из задачи 5 и пройденный ею путь.

Решение.

Поскольку данная задача (*6) ссылается на условия задачи 5, а условия задачи 5 не предоставлены, мы будем исходить из стандартной формулировки этой классической задачи о преследовании.

Условия задачи 5 (предполагаемые): Четыре черепахи находятся в вершинах квадрата со стороной $a$. Они начинают двигаться одновременно с одинаковой постоянной по модулю скоростью $v$ так, что первая всегда движется по направлению ко второй, вторая — к третьей, третья — к четвертой, а четвертая — к первой.

Дано:

Сторона квадрата: $a$

Скорость черепах: $v$

Найти:

Модуль перемещения первой черепахи: $|\Delta\vec{r_1}|$

Пройденный первой черепахой путь: $S_1$

Решение:

Введем систему координат. Пусть вершины квадрата в начальный момент времени $t=0$ находятся в точках с координатами: первая черепаха в $A(0, a)$, вторая в $B(a, a)$, третья в $C(a, 0)$ и четвертая в $D(0, 0)$.

Из-за симметрии задачи все черепахи будут двигаться по одинаковым спиралевидным траекториям и встретятся в центре квадрата. Координаты центра квадрата $O'$:

$O' = (\frac{0+a}{2}, \frac{0+a}{2}) = (\frac{a}{2}, \frac{a}{2})$

Таким образом, начальное положение первой черепахи — точка $A(0, a)$, а конечное — точка $O'(\frac{a}{2}, \frac{a}{2})$.

модуль перемещения первой черепахи

Перемещение — это вектор, соединяющий начальное и конечное положение тела. Модуль перемещения — это длина этого вектора, то есть расстояние по прямой между начальной и конечной точками траектории.

$|\Delta\vec{r_1}| = \sqrt{(x_{конеч} - x_{начал})^2 + (y_{конеч} - y_{начал})^2}$

Подставим координаты точек $A$ и $O'$:

$|\Delta\vec{r_1}| = \sqrt{(\frac{a}{2} - 0)^2 + (\frac{a}{2} - a)^2} = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (-\frac{a}{2})^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{2a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Ответ: Модуль перемещения первой черепахи равен $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

пройденный ею путь

Путь — это длина траектории движения. Чтобы найти путь, необходимо определить время движения черепахи.

Рассмотрим относительное движение первой и второй черепах. Скорость первой черепахи $\vec{v_1}$ всегда направлена ко второй черепахе. Скорость второй черепахи $\vec{v_2}$ направлена к третьей. В любой момент времени вектор скорости второй черепахи $\vec{v_2}$ перпендикулярен вектору, соединяющему первую и вторую черепах (так как черепахи всегда образуют квадрат, который вращается и сжимается).

Скорость сближения первой и второй черепах равна разности проекций их скоростей на прямую, их соединяющую:

$v_{сбл} = v_{1\parallel} - v_{2\parallel}$

Проекция скорости первой черепахи на эту прямую равна ее модулю скорости: $v_{1\parallel} = v$.

Проекция скорости второй черепахи на эту же прямую равна $v_{2\parallel} = v \cdot \cos(90^\circ) = 0$.

Таким образом, скорость сближения черепах постоянна и равна $v_{сбл} = v - 0 = v$.

Начальное расстояние между черепахами равно стороне квадрата $a$. Время, через которое они встретятся:

$t = \frac{a}{v_{сбл}} = \frac{a}{v}$

Первая черепаха движется с постоянной по модулю скоростью $v$ в течение времени $t$. Пройденный ею путь $S_1$ равен:

$S_1 = v \cdot t = v \cdot \frac{a}{v} = a$

Ответ: Пройденный первой черепахой путь равен $a$.