Номер 5, страница 39 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Механика. Глава 1. Кинематика. Параграф 6. Сложение движений. Преобразования Галилея. Упражнения - номер 5, страница 39.

Условие.

*5. В вершинах квадрата со стороной $l$ находятся четыре черепахи (рис. 33). Первая черепаха смотрит на вторую, вторая — на третью, третья — на четвёртую, а четвёртая — на первую. В некоторый момент времени они начинают двигаться с одинаковыми по модулю скоростями $\vec{v}$. Каждая черепаха в любой момент времени движется в направлении той черепахи, на которую она смотрит. Определите время движения черепах до их встречи в центре квадрата.

Рис. 33

Решение.

Дано:

Сторона квадрата: $l$
Модуль скорости каждой черепахи: $v$

Все величины представлены в общем виде, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Время движения черепах до встречи: $t$

Решение:

Для решения задачи рассмотрим относительное движение двух соседних черепах, например, первой, которая движется ко второй. Скорость сближения этих двух черепах определит время, через которое они встретятся.

Пусть в некоторый момент времени черепахи находятся в вершинах квадрата. Скорость первой черепахи $\vec{v}_1$ направлена точно на вторую черепаху. В то же время, скорость второй черепахи $\vec{v}_2$ направлена на третью.

Из-за симметрии задачи черепахи всегда будут образовывать квадрат, который с течением времени сжимается и поворачивается. Это означает, что в любой момент времени вектор скорости второй черепахи $\vec{v}_2$ будет перпендикулярен отрезку, соединяющему первую и вторую черепах.

Скорость сближения $v_{сбл}$ двух черепах равна сумме проекций их скоростей на прямую, их соединяющую.

1. Проекция скорости первой черепахи на эту прямую равна ее модулю, так как она движется вдоль этой прямой: $v_{1, proj} = v$.

2. Проекция скорости второй черепахи на эту прямую равна нулю, так как ее вектор скорости перпендикулярен этой прямой: $v_{2, proj} = v \cdot \cos(90^\circ) = 0$.

Таким образом, относительная скорость сближения двух соседних черепах постоянна и равна:

$v_{сбл} = v_{1, proj} + v_{2, proj} = v + 0 = v$

Начальное расстояние между первой и второй черепахами равно стороне квадрата $l$. Так как скорость их сближения постоянна, время $t$, через которое они встретятся (т.е. расстояние между ними станет равным нулю), можно найти по формуле равномерного движения:

$t = \frac{\text{начальное расстояние}}{\text{скорость сближения}} = \frac{l}{v_{сбл}}$

Подставляя значение $v_{сбл}$, получаем:

$t = \frac{l}{v}$

Все четыре черепахи встретятся одновременно в центре квадрата.

Ответ: $t = \frac{l}{v}$.