Номер 3, страница 38 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Механика. Глава 1. Кинематика. Параграф 6. Сложение движений. Преобразования Галилея. Упражнения - номер 3, страница 38.

Условие.

*3. Моторная лодка переплывает реку шириной 100 м. Модуль скорости течения реки равен 2 м/с, а модуль скорости лодки относительно воды равен 4 м/с (рис. 31). Под каким углом $\alpha$ к течению должен быть направлен вектор скорости лодки, чтобы она оказалась на противоположном берегу точно напротив места старта? Определите скорость движения лодки относительно берегов и время переправы.

Рис. 31

Решение.

Дано:

$L = 100$ м (ширина реки)

$u = 2$ м/с (модуль скорости течения)

$v = 4$ м/с (модуль скорости лодки относительно воды)

Найти:

$\alpha$ — ?

$v_{отн}$ — ?

$t$ — ?

Решение:

Введем систему координат: ось $OX$ направим по течению реки, а ось $OY$ — перпендикулярно берегу, от места старта к противоположному берегу.

Скорость лодки относительно берега $\vec{v}_{отн}$ является векторной суммой скорости лодки относительно воды $\vec{v}$ и скорости течения реки $\vec{u}$:

$\vec{v}_{отн} = \vec{v} + \vec{u}$

Под каким углом α к течению должен быть направлен вектор скорости лодки, чтобы она оказалась на противоположном берегу точно напротив места старта?

Чтобы лодка достигла противоположного берега точно напротив места старта, ее снос течением должен быть полностью скомпенсирован. Это означает, что проекция результирующей скорости на ось $OX$ (вдоль течения) должна быть равна нулю: $v_{отн, x} = 0$.

В проекциях на ось $OX$ уравнение скоростей выглядит так:

$v_{отн, x} = v_x + u_x$

Где $u_x = u$, а $v_x = v \cos(\alpha)$. Угол $\alpha$ — это угол между вектором скорости лодки $\vec{v}$ и вектором течения $\vec{u}$ (ось $OX$).

Тогда условие $v_{отн, x} = 0$ принимает вид:

$v \cos(\alpha) + u = 0$

Отсюда находим косинус искомого угла:

$\cos(\alpha) = -\frac{u}{v} = -\frac{2 \text{ м/с}}{4 \text{ м/с}} = -0.5$

Следовательно, угол $\alpha$ равен:

$\alpha = \arccos(-0.5) = 120^\circ$

Ответ: Вектор скорости лодки должен быть направлен под углом $120^\circ$ к течению.

Определите скорость движения лодки относительно берегов

Скорость лодки относительно берегов $v_{отн}$ — это модуль вектора $\vec{v}_{отн}$. Так как проекция этого вектора на ось $OX$ равна нулю, то вектор $\vec{v}_{отн}$ направлен перпендикулярно течению (вдоль оси $OY$). Его модуль равен его проекции на ось $OY$:

$v_{отн} = v_{отн, y} = v_y + u_y$

Так как $u_y=0$, а $v_y = v \sin(\alpha)$, получаем:

$v_{отн} = v \sin(120^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ м/с.

Также эту скорость можно найти из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного векторами скоростей (где $v$ — гипотенуза, а $u$ и $v_{отн}$ — катеты):

$v^2 = u^2 + v_{отн}^2$

$v_{отн} = \sqrt{v^2 - u^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \approx 3.46$ м/с.

Ответ: Скорость лодки относительно берегов равна $2\sqrt{3}$ м/с (приблизительно $3.46$ м/с).

и время переправы.

Время переправы $t$ можно найти, разделив ширину реки $L$ на скорость движения лодки перпендикулярно берегу, то есть на $v_{отн}$:

$t = \frac{L}{v_{отн}}$

$t = \frac{100 \text{ м}}{2\sqrt{3} \text{ м/с}} = \frac{50}{\sqrt{3}} \text{ с} = \frac{50\sqrt{3}}{3} \text{ с} \approx 28.9$ с.

Ответ: Время переправы равно $\frac{50\sqrt{3}}{3}$ с (приблизительно $28.9$ с).