Номер 3, страница 30 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Механика. Глава 1. Кинематика. Параграф 5. Решение задач кинематики равномерного прямолинейного движения. Графический и аналитический способы решения. Упражнения - номер 3, страница 30.

Условие.

3. Муравей и черепаха движутся вдоль стены здания друг за другом. Муравей догоняет черепаху. В начальный момент времени расстояние между ними равно 75 см. Модуль скорости муравья равен 5 см/с, а модуль скорости черепахи равен 2,5 см/с. Когда муравей догонит черепаху? Решите задачу аналитическим и графическим способами.

Решение.

Дано:

Начальное расстояние между муравьем и черепахой: $S_0 = 75$ см

Скорость муравья: $v_м = 5$ см/с

Скорость черепахи: $v_ч = 2,5$ см/с

Перевод в систему СИ:

$S_0 = 0,75$ м

$v_м = 0,05$ м/с

$v_ч = 0,025$ м/с

Найти:

Время, через которое муравей догонит черепаху: $t$ - ?

Решение:

Аналитический способ

Выберем систему отсчета, связанную с землей. Направим ось координат $OX$ по направлению движения. За начало отсчета ($x=0$) примем начальное положение муравья. В этом случае начальная координата муравья $x_{0м} = 0$, а начальная координата черепахи $x_{0ч} = 75 \text{ см} = 0,75 \text{ м}$.

Движение обоих тел равномерное, поэтому их координаты изменяются со временем по закону $x(t) = x_0 + vt$.

Уравнение движения для муравья: $x_м(t) = 0 + v_м t = v_м t$.

Уравнение движения для черепахи: $x_ч(t) = x_{0ч} + v_ч t$.

Муравей догонит черепаху в тот момент времени $t$, когда их координаты станут равны: $x_м(t) = x_ч(t)$.

Приравняем правые части уравнений:

$v_м t = x_{0ч} + v_ч t$

Соберем слагаемые, содержащие $t$, в левой части уравнения:

$v_м t - v_ч t = x_{0ч}$

Вынесем $t$ за скобки:

$t(v_м - v_ч) = x_{0ч}$

Отсюда выразим время $t$:

$t = \frac{x_{0ч}}{v_м - v_ч}$

Величина $v_м - v_ч$ является скоростью сближения муравья и черепахи.

Подставим числовые значения в системе СИ:

$t = \frac{0,75 \text{ м}}{0,05 \text{ м/с} - 0,025 \text{ м/с}} = \frac{0,75 \text{ м}}{0,025 \text{ м/с}} = 30 \text{ с}$

Ответ: муравей догонит черепаху через 30 секунд.

Графический способ

Для решения задачи графическим способом необходимо построить графики зависимости координаты от времени $x(t)$ для муравья и черепахи в одной системе координат. Ось ординат будет представлять координату $x$ (в метрах), а ось абсцисс — время $t$ (в секундах).

1. График движения муравья: $x_м(t) = 0,05t$. Это линейная функция, график которой — прямая линия, проходящая через начало координат (0; 0) и, например, через точку (20; 1), так как $x_м(20) = 0,05 \cdot 20 = 1$ м.

2. График движения черепахи: $x_ч(t) = 0,75 + 0,025t$. Это также линейная функция. Ее график — прямая линия, которая начинается в точке (0; 0,75) на оси ординат и проходит, например, через точку (20; 1,25), так как $x_ч(20) = 0,75 + 0,025 \cdot 20 = 0,75 + 0,5 = 1,25$ м.

Точка пересечения этих двух графиков покажет момент времени и координату места, где муравей догонит черепаху. Абсцисса (значение по оси времени) этой точки и будет искомым временем. Построив графики, мы обнаружим, что они пересекаются в точке с координатами $(30; 1,5)$.

Это означает, что встреча произойдет в момент времени $t=30$ с в точке с координатой $x=1,5$ м. Таким образом, время, через которое муравей догонит черепаху, составляет 30 секунд.

Ответ: муравей догонит черепаху через 30 секунд.