Номер 3, страница 30 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Вопросы. Параграф 5. Решение задач кинематики равномерного прямолинейного движения. Графический и аналитический способы решения. Глава 1. Кинематика. Механика - номер 3, страница 30.

Условие.

*3. Какие выводы позволяет сделать анализ полученного ответа?

Решение.

Поскольку контекст предыдущей задачи, к которой относится этот вопрос, неизвестен, предположим, что в ней требовалось найти вторую космическую скорость для Земли. Вторая космическая скорость — это минимальная скорость, которую необходимо сообщить объекту у поверхности планеты, чтобы он преодолел её гравитационное притяжение и ушёл на бесконечность. Полученный ответ в такой задаче был бы представлен формулой и её численным значением: $v_{II} = \sqrt{\frac{2GM}{R}} \approx 11.2 \text{ км/с}$.

Анализ этого ответа позволяет сделать следующие выводы:

1. Независимость от массы покидающего тело объекта. Формула $v_{II} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ не содержит массы $m$ объекта, который покидает планету. Это означает, что и для легкого наноспутника, и для тяжелого межпланетного корабля потребуется одна и та же минимальная начальная скорость для преодоления гравитационного поля Земли (без учета сопротивления атмосферы). Этот нетривиальный вывод является прямым следствием принципа эквивалентности — равенства гравитационной и инертной масс.

2. Зависимость от параметров центрального небесного тела. Вторая космическая скорость полностью определяется массой $M$ и радиусом $R$ планеты (или звезды), а также фундаментальной гравитационной постоянной $G$. Из формулы следует, что более массивные и/или более компактные (меньший радиус при той же массе) объекты обладают большей второй космической скоростью. Это объясняет, почему для старта с массивного Юпитера требуется скорость ~59.5 км/с, а с легкой Луны — всего ~2.4 км/с. Логическим продолжением этой зависимости является концепция черных дыр — объектов, для которых вторая космическая скорость на горизонте событий превышает скорость света.

3. Связь с первой космической скоростью. Существует простое соотношение между второй космической скоростью $v_{II}$ и первой космической скоростью $v_I$ (скоростью движения по круговой орбите вблизи поверхности), которая равна $v_I = \sqrt{\frac{GM}{R}}$. Сравнивая формулы, получаем: $v_{II} = \sqrt{2 \cdot \frac{GM}{R}} = v_I \sqrt{2}$. Таким образом, чтобы навсегда покинуть планету, объекту нужно развить скорость всего в $\sqrt{2} \approx 1.414$ раза большую, чем для выхода на низкую околоземную орбиту.

4. Энергетический смысл. С точки зрения закона сохранения энергии, вторая космическая скорость — это такая начальная скорость, при которой полная механическая энергия тела $E = E_k + E_p = \frac{mv^2}{2} - \frac{GMm}{R}$ становится равной нулю. При $v < v_{II}$ полная энергия отрицательна ($E < 0$), и тело остается в гравитационном «плену» планеты, двигаясь по эллиптической орбите. При $v \ge v_{II}$ полная энергия неотрицательна ($E \ge 0$), и тело движется по незамкнутой траектории (параболе или гиперболе), уходя на бесконечность.

5. Практическая значимость и масштаб. Численное значение $v_{II} \approx 11.2 \text{ км/с}$ (или $40320 \text{ км/ч}$) — это огромная величина по сравнению со скоростями, с которыми мы сталкиваемся в повседневной жизни. Этот результат наглядно демонстрирует, какая колоссальная энергия требуется для запуска космических аппаратов к другим планетам и за пределы Солнечной системы, и объясняет необходимость использования мощных многоступенчатых ракет-носителей.

Ответ: Анализ формулы и значения второй космической скорости позволяет сделать выводы о ее независимости от массы запускаемого тела и о прямой зависимости от массы и радиуса планеты. Это дает возможность сравнивать условия космических полетов для различных небесных тел и объясняет существование таких объектов, как черные дыры. Также анализ выявляет простую математическую связь с первой космической скоростью ($v_{II} = v_I \sqrt{2}$) и раскрывает фундаментальный энергетический смысл скорости убегания как скорости, соответствующей нулевой полной механической энергии тела в гравитационном поле. Большое численное значение этой скорости для Земли подчеркивает технологическую сложность межпланетных путешествий.