Номер 2, страница 62 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Упражнения. Параграф 9. Равномерное движение по окружности. Глава 1. Кинематика. Механика - номер 2, страница 62.

Условие.

2. Определите радиус $R$ маховика, если при его вращении модуль скорости точки его обода равен 10 м/с, а модуль скорости точки, расположенной на 10 см ближе к оси, равен 8 м/с.

Решение.

Дано

Модуль скорости точки на ободе маховика, $v_1 = 10$ м/с

Модуль скорости точки, расположенной ближе к оси, $v_2 = 8$ м/с

Расстояние, на которое вторая точка ближе к оси, $\Delta r = 10$ см

Перевод в систему СИ:
$\Delta r = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

Радиус маховика, $R$

Решение

Линейная скорость $v$ точки, вращающейся по окружности, связана с угловой скоростью $\omega$ и радиусом вращения $r$ соотношением $v = \omega r$. Для твердого тела, каким является маховик, угловая скорость $\omega$ одинакова для всех его точек.

Запишем это соотношение для двух указанных в условии точек.

1. Для точки на ободе маховика, радиус вращения которой равен радиусу маховика $R$, а линейная скорость равна $v_1$:
$v_1 = \omega R$

2. Для точки, расположенной на $\Delta r$ ближе к оси вращения, радиус вращения будет $r_2 = R - \Delta r$, а линейная скорость равна $v_2$:
$v_2 = \omega (R - \Delta r)$

Мы получили систему двух уравнений с двумя неизвестными: $R$ и $\omega$. Выразим угловую скорость из каждого уравнения:

Из первого уравнения: $\omega = \frac{v_1}{R}$

Из второго уравнения: $\omega = \frac{v_2}{R - \Delta r}$

Так как угловая скорость одна и та же, приравняем правые части полученных выражений:

$\frac{v_1}{R} = \frac{v_2}{R - \Delta r}$

Решим данное уравнение относительно искомого радиуса $R$:

$v_1 (R - \Delta r) = v_2 R$

$v_1 R - v_1 \Delta r = v_2 R$

$v_1 R - v_2 R = v_1 \Delta r$

$R (v_1 - v_2) = v_1 \Delta r$

$R = \frac{v_1 \Delta r}{v_1 - v_2}$

Подставим числовые значения из условия задачи, предварительно переведенные в систему СИ:

$R = \frac{10 \text{ м/с} \cdot 0.1 \text{ м}}{10 \text{ м/с} - 8 \text{ м/с}} = \frac{1 \text{ м}^2/\text{с}}{2 \text{ м/с}} = 0.5 \text{ м}$

Ответ: радиус маховика $R$ равен 0,5 м.