Номер 1, страница 199 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Механика. Глава 4. Законы сохранения в механике. Параграф 34. Механическая энергия системы тел. Изменение механической энергии. Закон сохранения механической энергии. Упражнения - номер 1, страница 199.

Условие.

1. С башни высотой $H$ бросают камень массой $m$ вверх под углом $\alpha$ к горизонту. Модуль начальной скорости камня равен $v_0$. Используя закон сохранения механической энергии, определите: а) максимальную высоту подъёма камня; б) модуль скорости камня в верхней точке траектории; в) модуль скорости падения камня на Землю. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение.

Дано:

Высота башни: $H$

Масса камня: $m$

Начальная скорость: $v_0$

Угол броска к горизонту: $\alpha$

Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

а) $h_{max}$ - максимальную высоту подъёма камня

б) $v_{в.т.}$ - модуль скорости камня в верхней точке траектории

в) $v_{к}$ - модуль скорости падения камня на Землю

Решение:

За нулевой уровень потенциальной энергии примем поверхность Земли. Полная механическая энергия камня $E$ в любой точке траектории является суммой его кинетической $E_к$ и потенциальной $E_п$ энергий: $E = E_к + E_п = \frac{mv^2}{2} + mgh$.

Поскольку сопротивлением воздуха пренебрегаем, полная механическая энергия камня сохраняется на всей траектории его полета.

В начальный момент времени (на вершине башни на высоте $H$) полная механическая энергия камня равна:

$E_{нач} = \frac{mv_0^2}{2} + mgH$

а) максимальную высоту подъёма камня;

В точке максимального подъема $h_{max}$ вертикальная составляющая скорости камня становится равной нулю ($v_y = 0$). Горизонтальная составляющая скорости остается постоянной на протяжении всего полета и равна $v_x = v_0 \cos\alpha$. Таким образом, скорость камня в верхней точке траектории равна $v_{в.т.} = v_0 \cos\alpha$.

Полная механическая энергия в точке максимального подъема $h_{max}$ равна:

$E_{max} = \frac{m(v_0 \cos\alpha)^2}{2} + mgh_{max}$

Согласно закону сохранения энергии, $E_{нач} = E_{max}$:

$\frac{mv_0^2}{2} + mgH = \frac{mv_0^2 \cos^2\alpha}{2} + mgh_{max}$

Разделим обе части уравнения на $m$:

$\frac{v_0^2}{2} + gH = \frac{v_0^2 \cos^2\alpha}{2} + gh_{max}$

Выразим $gh_{max}$:

$gh_{max} = \frac{v_0^2}{2} - \frac{v_0^2 \cos^2\alpha}{2} + gH = \frac{v_0^2(1 - \cos^2\alpha)}{2} + gH$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$.

$gh_{max} = \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2} + gH$

Отсюда находим максимальную высоту $h_{max}$:

$h_{max} = \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g} + H$

Ответ: $h_{max} = H + \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g}$

б) модуль скорости камня в верхней точке траектории;

Как было показано в пункте а), в верхней точке траектории вертикальная составляющая скорости равна нулю, а горизонтальная остается неизменной и равной начальной горизонтальной составляющей. Начальную скорость $v_0$ можно разложить на горизонтальную $v_{0x}$ и вертикальную $v_{0y}$ составляющие:

$v_{0x} = v_0 \cos\alpha$

$v_{0y} = v_0 \sin\alpha$

В отсутствие сопротивления воздуха горизонтальная составляющая скорости не изменяется: $v_x = v_{0x} = v_0 \cos\alpha$. В верхней точке траектории $v_y = 0$.

Следовательно, модуль скорости в верхней точке $v_{в.т.}$ равен модулю ее горизонтальной составляющей:

$v_{в.т.} = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(v_0 \cos\alpha)^2 + 0^2} = v_0 \cos\alpha$

Ответ: $v_{в.т.} = v_0 \cos\alpha$

в) модуль скорости падения камня на Землю.

Рассмотрим начальное состояние камня на башне и конечное состояние в момент падения на Землю. В момент падения высота камня $h_к=0$, а его скорость равна $v_к$.

Полная механическая энергия в момент падения на Землю:

$E_к = \frac{mv_к^2}{2} + mg \cdot 0 = \frac{mv_к^2}{2}$

Приравниваем начальную энергию и конечную энергию согласно закону сохранения энергии $E_{нач} = E_к$:

$\frac{mv_0^2}{2} + mgH = \frac{mv_к^2}{2}$

Разделим обе части на $m$ и умножим на 2:

$v_0^2 + 2gH = v_к^2$

Отсюда находим модуль конечной скорости $v_к$:

$v_к = \sqrt{v_0^2 + 2gH}$

Ответ: $v_к = \sqrt{v_0^2 + 2gH}$