Номер 4, страница 205 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Параграф 35. Решение задач с использованием законов сохранения импульса и механической энергии. Глава 4. Законы сохранения в механике. Механика - номер 4, страница 205.

Условие.

4. Проведите анализ выражения (3) из задачи 3 для расчёта работы сил вязкого трения при абсолютно неупругом ударе. Изменится ли это выражение, если один из соударяющихся шаров будет догонять другой шар?

Решение.

Проведите анализ выражения (3) из задачи 3 для расчёта работы сил вязкого трения при абсолютно неупругом ударе.

Поскольку выражение (3) не приведено, выведем его. Работа сил вязкого трения $A_{тр}$ при абсолютно неупругом ударе равна убыли кинетической энергии системы соударяющихся тел, так как именно эта энергия переходит во внутреннюю энергию (тепло) за счёт работы сил трения и деформации.

Дано:
$m_1$, $m_2$ - массы шаров
$v_1$, $v_2$ - скорости шаров до соударения

Найти:
$A_{тр}$ - работа сил вязкого трения

Решение:

Рассмотрим систему из двух шаров. При абсолютно неупругом ударе шары слипаются и продолжают движение как единое целое с некоторой скоростью $u$. Для системы в целом выполняется закон сохранения импульса в проекции на ось движения:

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) u$

Отсюда можно выразить скорость шаров после удара:

$u = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$

Работа сил трения $A_{тр}$ равна изменению кинетической энергии системы $\Delta E_k$:

$A_{тр} = \Delta E_k = E_{k_{после}} - E_{k_{до}}$

Кинетическая энергия системы до удара:

$E_{k_{до}} = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2}$

Кинетическая энергия системы после удара:

$E_{k_{после}} = \frac{(m_1 + m_2) u^2}{2}$

Подставим выражение для скорости $u$ в формулу для кинетической энергии после удара:

$E_{k_{после}} = \frac{(m_1 + m_2)}{2} \left( \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2} \right)^2 = \frac{(m_1 v_1 + m_2 v_2)^2}{2(m_1 + m_2)}$

Теперь найдем работу сил трения:

$A_{тр} = \frac{(m_1 v_1 + m_2 v_2)^2}{2(m_1 + m_2)} - \left( \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} \right)$

Приведем к общему знаменателю $2(m_1 + m_2)$:

$A_{тр} = \frac{(m_1 v_1 + m_2 v_2)^2 - (m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2)(m_1 + m_2)}{2(m_1 + m_2)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(m_1^2 v_1^2 + 2m_1 m_2 v_1 v_2 + m_2^2 v_2^2) - (m_1^2 v_1^2 + m_1 m_2 v_1^2 + m_1 m_2 v_2^2 + m_2^2 v_2^2)$

После сокращения подобных членов в числителе остается:

$2m_1 m_2 v_1 v_2 - m_1 m_2 v_1^2 - m_1 m_2 v_2^2 = -m_1 m_2 (v_1^2 - 2v_1 v_2 + v_2^2) = -m_1 m_2 (v_1 - v_2)^2$

Таким образом, искомое выражение для работы сил вязкого трения имеет вид:

$A_{тр} = - \frac{m_1 m_2 (v_1 - v_2)^2}{2(m_1 + m_2)}$

Анализ выражения:

1. Работа сил трения всегда отрицательна или равна нулю ($A_{тр} \le 0$), так как все величины в числителе ($m_1, m_2$) и знаменателе положительны, а множитель $(v_1 - v_2)^2$ всегда неотрицателен. Это соответствует физическому смыслу: силы трения совершают отрицательную работу, приводя к уменьшению механической энергии системы.

2. Работа равна нулю только в случае, если $v_1 = v_2$, то есть когда шары движутся с одинаковой скоростью и соударения не происходит.

3. Величина работы зависит от масс обоих тел и, что важно, от квадрата их относительной скорости до соударения $(v_1 - v_2)$. Чем больше относительная скорость, тем больше механической энергии переходит во внутреннюю.

4. Выражение можно переписать через приведенную массу системы $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ и относительную скорость $v_{отн} = v_1 - v_2$: $A_{тр} = - \frac{1}{2} \mu v_{отн}^2$. Это показывает, что потерянная энергия равна кинетической энергии относительного движения тел.

Ответ: Выражение для расчёта работы сил вязкого трения при абсолютно неупругом ударе: $A_{тр} = - \frac{m_1 m_2 (v_1 - v_2)^2}{2(m_1 + m_2)}$. Работа сил трения отрицательна, и её величина пропорциональна массам тел и квадрату их относительной скорости до столкновения.

Изменится ли это выражение, если один из соударяющихся шаров будет догонять другой шар?

Нет, это выражение не изменится.

Вывод формулы $A_{тр} = - \frac{m_1 m_2 (v_1 - v_2)^2}{2(m_1 + m_2)}$ основан только на законе сохранения импульса и определении работы как изменения кинетической энергии. Эти законы и определения являются общими и не зависят от конкретного направления движения тел до столкновения. В формулу входят проекции скоростей $v_1$ и $v_2$.

Рассмотрим два случая:

1. Встречное движение: скорости направлены в разные стороны. Например, $v_1 > 0$, а $v_2 < 0$. Тогда относительная скорость $v_1 - v_2$ будет велика.

2. Один шар догоняет другой: скорости направлены в одну сторону. Например, $v_1 > 0$ и $v_2 > 0$, причём $v_1 > v_2$.

В обоих случаях derivation (вывод) формулы остается абсолютно тем же самым. Формула универсальна для любого одномерного абсолютно неупругого столкновения. Наличие квадрата разности скоростей $(v_1 - v_2)^2$ делает величину работы нечувствительной к знаку относительной скорости, важна только её величина. Таким образом, вид выражения останется прежним.

Ответ: Нет, выражение не изменится. Оно является универсальным для любого одномерного абсолютно неупругого соударения и не зависит от того, движутся ли шары навстречу друг другу или один догоняет другой.