Номер 2, страница 205 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Параграф 35. Решение задач с использованием законов сохранения импульса и механической энергии. Глава 4. Законы сохранения в механике. Механика - номер 2, страница 205.

Условие.

2. Спортсмен массой $M$ прыгает под углом $\alpha$ к горизонту со скоростью, модуль которой равен $v$. В верхней точке траектории он бросает вертикально вниз груз массой $m$ со скоростью, модуль которой равен $u$. Определите максимальную высоту взлёта спортсмена.

Решение.

Дано

$M$ – масса спортсмена
$m$ – масса груза
$v$ – начальная скорость системы "спортсмен + груз"
$\alpha$ – угол прыжка к горизонту
$u$ – скорость, с которой спортсмен бросает груз
$g$ – ускорение свободного падения

Найти:

$H_{max}$ – максимальная высота взлёта спортсмена

Решение

Решение задачи можно разбить на несколько этапов. Сначала определим высоту, на которую поднимется система "спортсмен с грузом" до момента броска. Затем, используя закон сохранения импульса, найдем скорость спортсмена после броска. Наконец, вычислим дополнительную высоту, на которую поднимется спортсмен, и сложим её с начальной высотой.

1. Найдём высоту $h_1$ (верхняя точка траектории), на которую поднимется спортсмен вместе с грузом. Вертикальная составляющая начальной скорости системы равна $v_y = v \sin(\alpha)$. В верхней точке траектории вертикальная составляющая скорости обращается в ноль. Высоту подъёма можно найти из кинематической формулы:

$h_1 = \frac{v_y^2}{2g} = \frac{(v \sin(\alpha))^2}{2g} = \frac{v^2 \sin^2(\alpha)}{2g}$

В этой точке система имеет только горизонтальную составляющую скорости $v_x = v \cos(\alpha)$, а вертикальная скорость равна нулю.

2. В верхней точке траектории спортсмен бросает груз вертикально вниз. Применим закон сохранения импульса для системы "спортсмен–груз" в проекции на вертикальную ось OY, направленную вверх.

До броска вертикальный импульс системы был равен нулю, так как вертикальная скорость системы в этой точке равна нулю:

$p_{y, до} = (M + m) \cdot 0 = 0$

Сразу после броска груз массой $m$ движется вниз со скоростью $u$, поэтому его импульс равен $-mu$. Спортсмен массой $M$ приобретает новую вертикальную скорость $v'_{y, сп}$, направленную вверх. Его импульс равен $Mv'_{y, сп}$. Суммарный импульс системы после броска:

$p_{y, после} = Mv'_{y, сп} - mu$

Согласно закону сохранения импульса, $p_{y, до} = p_{y, после}$, следовательно:

$0 = Mv'_{y, сп} - mu$

Отсюда выразим вертикальную скорость спортсмена сразу после броска:

$v'_{y, сп} = \frac{mu}{M}$

3. Получив начальную вертикальную скорость $v'_{y, сп}$ на высоте $h_1$, спортсмен поднимется на дополнительную высоту $h_2$. Эту высоту можно найти по формуле:

$h_2 = \frac{(v'_{y, сп})^2}{2g} = \frac{(\frac{mu}{M})^2}{2g} = \frac{m^2 u^2}{2gM^2}$

4. Максимальная высота взлёта спортсмена $H_{max}$ равна сумме высоты верхней точки начальной траектории $h_1$ и дополнительной высоты $h_2$:

$H_{max} = h_1 + h_2 = \frac{v^2 \sin^2(\alpha)}{2g} + \frac{m^2 u^2}{2gM^2}$

Ответ: $H_{max} = \frac{v^2 \sin^2(\alpha)}{2g} + \frac{m^2 u^2}{2gM^2}$.