Номер 3, страница 205 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Параграф 35. Решение задач с использованием законов сохранения импульса и механической энергии. Глава 4. Законы сохранения в механике. Механика - номер 3, страница 205.

Условие.

3. Пять одинаковых гладких шариков покоятся на горизонтальной плоскости на одной прямой на некоторых расстояниях друг от друга. На первый шарик налетает движущийся поступательно вдоль этой прямой ещё один такой же шарик. Модуль скорости этого шарика равен 5 м/с. Определите скорости всех шариков после всех их абсолютно упругих соударений.

Решение.

Дано

Количество покоящихся шариков: $N_{пок} = 5$

Количество налетающих шариков: $N_{нал} = 1$

Все шарики одинаковые, их массы равны: $m_1 = m_2 = ... = m_6 = m$

Начальная скорость налетающего шарика: $v_0 = 5 \text{ м/с}$

Начальные скорости покоящихся шариков равны нулю.

Соударения абсолютно упругие.

Все данные уже представлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

Скорости всех шариков после всех соударений: $v_1', v_2', v_3', v_4', v_5', v_6'$

Решение

Рассмотрим общий случай центрального абсолютно упругого удара двух шаров одинаковой массы $m$. Пусть первый шар движется со скоростью $u_1$, а второй покоится ($u_2 = 0$).

В такой системе выполняются два закона сохранения: закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.

Закон сохранения импульса:

$m u_1 + m \cdot 0 = m v_1 + m v_2$

где $v_1$ и $v_2$ – скорости шаров после столкновения. Сократив массу $m$, получим:

$u_1 = v_1 + v_2$ (1)

Закон сохранения кинетической энергии:

$\frac{m u_1^2}{2} + \frac{m \cdot 0^2}{2} = \frac{m v_1^2}{2} + \frac{m v_2^2}{2}$

Сократив $\frac{m}{2}$, получим:

$u_1^2 = v_1^2 + v_2^2$ (2)

Решим систему уравнений (1) и (2). Из уравнения (1) выразим $v_1 = u_1 - v_2$ и подставим в уравнение (2):

$u_1^2 = (u_1 - v_2)^2 + v_2^2$

$u_1^2 = u_1^2 - 2u_1v_2 + v_2^2 + v_2^2$

$0 = -2u_1v_2 + 2v_2^2$

$2v_2(v_2 - u_1) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $v_2 = 0$ или $v_2 = u_1$.

Если $v_2 = 0$, то из уравнения (1) следует, что $v_1 = u_1$. Это означает, что столкновения не произошло, что не соответствует условию задачи.

Следовательно, верным решением является $v_2 = u_1$. Подставив это в уравнение (1), находим $v_1 = 0$.

Таким образом, при центральном абсолютно упругом столкновении двух одинаковых шаров, один из которых покоился, налетающий шар останавливается, а покоившийся шар начинает двигаться со скоростью налетавшего. Происходит обмен скоростями.

Теперь применим этот вывод к нашей задаче последовательно.

Пронумеруем шарики от 1 до 6. Шарик 1 – налетающий, шарики 2, 3, 4, 5, 6 – покоящиеся.

1. Первое соударение: Шарик 1 (скорость 5 м/с) налетает на покоящийся шарик 2.

После удара: Шарик 1 останавливается ($v_1' = 0$), а шарик 2 начинает двигаться со скоростью 5 м/с.

2. Второе соударение: Шарик 2 (скорость 5 м/с) налетает на покоящийся шарик 3.

После удара: Шарик 2 останавливается ($v_2' = 0$), а шарик 3 начинает двигаться со скоростью 5 м/с.

3. Третье соударение: Шарик 3 (скорость 5 м/с) налетает на покоящийся шарик 4.

После удара: Шарик 3 останавливается ($v_3' = 0$), а шарик 4 начинает двигаться со скоростью 5 м/с.

4. Четвертое соударение: Шарик 4 (скорость 5 м/с) налетает на покоящийся шарик 5.

После удара: Шарик 4 останавливается ($v_4' = 0$), а шарик 5 начинает двигаться со скоростью 5 м/с.

5. Пятое соударение: Шарик 5 (скорость 5 м/с) налетает на покоящийся шарик 6.

После удара: Шарик 5 останавливается ($v_5' = 0$), а шарик 6 начинает двигаться со скоростью 5 м/с.

После пятого соударения шарик 6 движется со скоростью 5 м/с, а все предыдущие пять шариков покоятся. Так как шарик 6 движется от остальных шариков, дальнейших соударений не будет.

Итак, в конечном итоге первые пять шариков (изначально движущийся и первые четыре из покоящихся) будут неподвижны, а последний, шестой шарик, будет двигаться со скоростью 5 м/с.

Ответ: Скорости первых пяти шариков (налетавшего и четырех из тех, что покоились) после всех соударений будут равны нулю. Скорость последнего, шестого шарика, будет равна 5 м/с.