Номер 1, страница 205 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Параграф 35. Решение задач с использованием законов сохранения импульса и механической энергии. Глава 4. Законы сохранения в механике. Механика - номер 1, страница 205.

Условие.

1. Гладкий клин массой $M$ стоит на горизонтальной поверхности стола (рис. 164). На клин кладут брусок массой $m$. Наклонная грань клина имеет плавный переход к горизонтальной плоскости. Определите скорость клина после того, как брусок соскользнёт с высоты $H$ на поверхность стола.

Рис. 164

Решение.

1. Дано:

Масса клина: $M$
Масса бруска: $m$
Начальная высота бруска: $h$
Начальные скорости клина и бруска равны нулю.
Все поверхности гладкие (трение отсутствует).

Найти:

Скорость клина после соскальзывания бруска, $V$ - ?

Решение:

Рассмотрим систему тел, состоящую из клина и бруска. Эта система является замкнутой в горизонтальном направлении, так как внешние силы (сила тяжести и сила нормальной реакции опоры) действуют только по вертикали. Следовательно, для системы выполняется закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось.

Поскольку по условию все поверхности гладкие, трение в системе отсутствует. Это означает, что полная механическая энергия системы также сохраняется.

Выберем систему отсчета, связанную со столом. Ось $OX$ направим горизонтально вправо. За нулевой уровень потенциальной энергии примем поверхность стола.

В начальный момент времени клин и брусок находятся в состоянии покоя.

• Начальный импульс системы: $P_{1x} = 0$.
• Начальная энергия системы (состоит только из потенциальной энергии бруска): $E_1 = mgh$.

В конечный момент времени, когда брусок соскользнул на поверхность стола, он движется горизонтально со скоростью $v$, а клин движется в противоположном направлении со скоростью $V$.

• Конечный импульс системы: $P_{2x} = mv - MV$.
• Конечная энергия системы (состоит из кинетических энергий бруска и клина): $E_2 = \frac{mv^2}{2} + \frac{MV^2}{2}$.

Запишем законы сохранения:

1. Закон сохранения импульса: $P_{1x} = P_{2x}$
$0 = mv - MV \implies mv = MV \quad (1)$

2. Закон сохранения энергии: $E_1 = E_2$
$mgh = \frac{mv^2}{2} + \frac{MV^2}{2} \quad (2)$

Получили систему двух уравнений с двумя неизвестными $v$ и $V$. Решим ее относительно искомой скорости клина $V$.

Из уравнения (1) выразим скорость бруска $v$:
$v = \frac{M}{m}V$

Подставим это выражение для $v$ в уравнение (2):
$mgh = \frac{m}{2} \left(\frac{MV}{m}\right)^2 + \frac{MV^2}{2}$
$mgh = \frac{m M^2 V^2}{2m^2} + \frac{MV^2}{2}$
$mgh = \frac{M^2 V^2}{2m} + \frac{MV^2}{2}$
$mgh = \frac{V^2}{2} \left(\frac{M^2}{m} + M\right)$
$mgh = \frac{V^2}{2} \left(\frac{M^2 + Mm}{m}\right)$
$mgh = \frac{V^2 M(M+m)}{2m}$

Теперь выразим из полученного уравнения $V^2$:
$V^2 = \frac{2m^2gh}{M(M+m)}$

Окончательно, извлекая квадратный корень, находим скорость клина $V$:
$V = \sqrt{\frac{2m^2gh}{M(M+m)}} = m\sqrt{\frac{2gh}{M(M+m)}}$

Ответ: $V = m\sqrt{\frac{2gh}{M(M+m)}}$