Номер 1, страница 283 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Молекулярная физика и термодинамика. Глава 7. Основы молекулярно-кинетической теории и термодинамики. Параграф 50. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории. Упражнения - номер 1, страница 283.

Условие.

1. В баллоне ёмкостью $V = 20 \text{ л}$ под давлением $p = 100 \text{ кПа}$ находится один моль кислорода. Определите среднеквадратичную скорость хаотического движения молекул кислорода, считая его идеальным газом.

Решение.

1. Дано:
Объём баллона $V = 20 \text{ л}$
Давление кислорода $p = 100 \text{ кПа}$
Количество вещества кислорода $\nu = 1 \text{ моль}$
Молярная масса кислорода ($O_2$) $M = 32 \text{ г/моль}$

$V = 20 \text{ л} = 20 \times 10^{-3} \text{ м}^3$
$p = 100 \text{ кПа} = 100 \times 10^3 \text{ Па} = 10^5 \text{ Па}$
$M = 32 \text{ г/моль} = 32 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}$

Найти:
Среднеквадратичную скорость хаотического движения молекул кислорода $\langle v_{кв} \rangle$.

Решение:

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ) для идеального газа связывает давление $p$ со средним квадратом скорости молекул $\langle v_{кв}^2 \rangle$:

$p = \frac{1}{3} n m_0 \langle v_{кв}^2 \rangle$

где $n$ – концентрация молекул, $m_0$ – масса одной молекулы. Произведение $n m_0$ равно плотности газа $\rho$:

$\rho = n m_0 = \frac{N}{V} m_0 = \frac{m}{V}$

где $N$ – общее число молекул, $V$ – объём газа, $m$ – общая масса газа.

Тогда основное уравнение МКТ можно записать в виде:

$p = \frac{1}{3} \rho \langle v_{кв}^2 \rangle$

Отсюда выразим среднеквадратичную скорость $\langle v_{кв} \rangle = \sqrt{\langle v_{кв}^2 \rangle}$:

$\langle v_{кв} \rangle = \sqrt{\frac{3p}{\rho}}$

Плотность газа $\rho$ можно выразить через количество вещества $\nu$, молярную массу $M$ и объём $V$:

$\rho = \frac{m}{V} = \frac{\nu M}{V}$

Подставим это выражение для плотности в формулу для скорости:

$\langle v_{кв} \rangle = \sqrt{\frac{3p}{\frac{\nu M}{V}}} = \sqrt{\frac{3pV}{\nu M}}$

Подставим числовые значения из условия в систему СИ:

$\langle v_{кв} \rangle = \sqrt{\frac{3 \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot (20 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3)}{1 \text{ моль} \cdot (32 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль})}}$

Выполним вычисления:

$\langle v_{кв} \rangle = \sqrt{\frac{3 \cdot 10^5 \cdot 20}{32}} = \sqrt{\frac{6000000}{32}} = \sqrt{187500} \text{ м/с}$

$\langle v_{кв} \rangle \approx 433 \text{ м/с}$

Ответ: Среднеквадратичная скорость хаотического движения молекул кислорода составляет примерно $433 \text{ м/с}$.