Номер 2, страница 283 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Вопросы. Параграф 50. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории. Глава 7. Основы молекулярно-кинетической теории и термодинамики. Молекулярная физика и термодинамика - номер 2, страница 283.

Условие.

2. Почему в основном уравнении молекулярно-кинетической теории стоит множитель $\frac{1}{3}$?

Решение.

Решение

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ), связывающее макроскопические параметры газа (давление $p$) с микроскопическими характеристиками его молекул, имеет вид:

$p = \frac{1}{3} n m_0 \overline{v^2}$

где $n$ – концентрация молекул, $m_0$ – масса одной молекулы, а $\overline{v^2}$ – среднее значение квадрата скорости молекул.

Появление множителя $\frac{1}{3}$ в этой формуле обусловлено тем, что движение молекул в газе является хаотичным и происходит в трёхмерном пространстве.

Рассмотрим это подробнее:

1. Скорость любой молекулы является вектором $\vec{v}$, который можно разложить на три взаимно перпендикулярные составляющие по осям координат $v_x, v_y, v_z$. Согласно теореме Пифагора, квадрат модуля скорости равен сумме квадратов его проекций:

$v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2$

2. Одним из основных положений МКТ является то, что движение молекул хаотично, и все направления движения абсолютно равноправны (это свойство называется изотропией). Это означает, что в среднем кинетическая энергия движения распределяется поровну между тремя осями. Следовательно, средние значения квадратов проекций скорости на оси координат равны между собой:

$\overline{v_x^2} = \overline{v_y^2} = \overline{v_z^2}$

3. Если усреднить уравнение для квадрата скорости по всем молекулам газа, получим:

$\overline{v^2} = \overline{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} = \overline{v_x^2} + \overline{v_y^2} + \overline{v_z^2}$

Учитывая равенство средних квадратов проекций, можно записать:

$\overline{v^2} = 3\overline{v_x^2}$

Из этого соотношения следует, что средний квадрат скорости по одному направлению (например, по оси $x$) составляет ровно одну треть от полного среднего квадрата скорости:

$\overline{v_x^2} = \frac{1}{3}\overline{v^2}$

4. Давление газа на стенку сосуда создаётся ударами молекул об эту стенку. При расчете давления на конкретную стенку (например, перпендикулярную оси $x$) учитывается только та составляющая скорости, которая перпендикулярна этой стенке, то есть $v_x$. Более строгий вывод показывает, что давление связано со средним квадратом именно этой компоненты скорости следующим образом:

$p = n m_0 \overline{v_x^2}$

5. Подставив в последнюю формулу выражение для $\overline{v_x^2}$ из пункта 3, мы и получаем основное уравнение МКТ:

$p = n m_0 \left(\frac{1}{3}\overline{v^2}\right) = \frac{1}{3} n m_0 \overline{v^2}$

Таким образом, множитель $\frac{1}{3}$ является прямым следствием трёхмерности пространства и хаотичности движения молекул.

Ответ: Множитель $\frac{1}{3}$ в основном уравнении молекулярно-кинетической теории появляется из-за того, что движение молекул газа происходит в трёхмерном пространстве, и все направления движения равновероятны. Вследствие этого, на создание давления на любую конкретную стенку сосуда в среднем "работает" только одна треть от общей кинетической энергии поступательного движения молекул, а именно та её часть, которая соответствует движению перпендикулярно данной стенке.