Номер 2, страница 286 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Молекулярная физика и термодинамика. Глава 7. Основы молекулярно-кинетической теории и термодинамики. Параграф 51. Температура — мера средней кинетической энергии хаотического движения молекул. Вопросы - номер 2, страница 286.

Условие.

2. Как связаны среднеквадратичная скорость хаотического движения молекул идеального газа и его температура?

Решение.

Решение

Связь между среднеквадратичной скоростью хаотического движения молекул идеального газа и его температурой устанавливается через основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ). Согласно МКТ, абсолютная температура является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул.

Средняя кинетическая энергия одной молекулы идеального газа определяется формулой: $\langle E_k \rangle = \frac{3}{2}kT$, где $\langle E_k \rangle$ — средняя кинетическая энергия, $k$ — постоянная Больцмана ($k \approx 1.38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К), а $T$ — абсолютная температура газа в кельвинах.

С другой стороны, кинетическая энергия одной молекулы массой $m_0$, движущейся со скоростью $v$, равна $E_k = \frac{1}{2}m_0v^2$. Для совокупности молекул средняя кинетическая энергия будет $\langle E_k \rangle = \frac{1}{2}m_0 \langle v^2 \rangle$. Здесь $\langle v^2 \rangle$ — это средний квадрат скорости молекул. Величина, равная квадратному корню из среднего квадрата скорости, $\sqrt{\langle v^2 \rangle}$, называется среднеквадратичной скоростью и обозначается $v_{кв}$.

Приравнивая два выражения для средней кинетической энергии, получаем:

$\frac{1}{2}m_0 \langle v^2 \rangle = \frac{3}{2}kT$

Отсюда выразим средний квадрат скорости:

$\langle v^2 \rangle = \frac{3kT}{m_0}$

Тогда среднеквадратичная скорость хаотического движения молекул равна:

$v_{кв} = \sqrt{\langle v^2 \rangle} = \sqrt{\frac{3kT}{m_0}}$

Эту формулу можно также выразить через молярную массу $M$ и универсальную газовую постоянную $R$, используя соотношения $k = R/N_A$ и $m_0 = M/N_A$, где $N_A$ — число Авогадро:

$v_{кв} = \sqrt{\frac{3(R/N_A)T}{M/N_A}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$

Таким образом, среднеквадратичная скорость движения молекул идеального газа прямо пропорциональна квадратному корню из его абсолютной температуры и обратно пропорциональна квадратному корню из массы одной молекулы (или молярной массы газа).

Ответ: Среднеквадратичная скорость хаотического движения молекул идеального газа ($v_{кв}$) прямо пропорциональна квадратному корню из его абсолютной температуры ($T$). Эта связь выражается формулой: $v_{кв} = \sqrt{\frac{3kT}{m_0}}$ или $v_{кв} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$, где $k$ — постоянная Больцмана, $m_0$ — масса одной молекулы, $R$ — универсальная газовая постоянная, а $M$ — молярная масса газа.