Номер 6, страница 289 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Параграф 52. Распределение молекул газа по скоростям. Глава 7. Основы молекулярно-кинетической теории и термодинамики. Молекулярная физика и термодинамика - номер 6, страница 289.

Условие.

*6. Какую скорость называют наивероятнейшей? Как она связана со среднеквадратичной скоростью хаотического движения молекул газа, находящегося в состоянии термодинамического равновесия?

Решение.

Какую скорость называют наивероятнейшей?

Наивероятнейшей скоростью ($v_в$) называют скорость, которую имеет наибольшее число молекул газа, находящегося в состоянии термодинамического равновесия при данной температуре. Эта скорость соответствует максимуму (моде) функции распределения молекул по скоростям, известной как распределение Максвелла.

Ответ: Наивероятнейшая скорость – это скорость, которой обладает наибольшее число молекул идеального газа в состоянии термодинамического равновесия.

Как она связана со среднеквадратичной скоростью хаотического движения молекул газа, находящегося в состоянии термодинамического равновесия?

Связь между наивероятнейшей скоростью ($v_в$) и среднеквадратичной скоростью ($v_{кв}$) можно установить, исходя из их математических выражений, которые следуют из молекулярно-кинетической теории.

Решение

Формула для наивероятнейшей скорости молекул газа:

$v_в = \sqrt{\frac{2kT}{m_0}} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$

где $k$ – постоянная Больцмана, $T$ – абсолютная температура, $m_0$ – масса одной молекулы, $R$ – универсальная газовая постоянная, а $M$ – молярная масса газа.

Формула для среднеквадратичной скорости молекул газа:

$v_{кв} = \sqrt{\langle v^2 \rangle} = \sqrt{\frac{3kT}{m_0}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$

где $\langle v^2 \rangle$ - средний квадрат скорости молекул.

Чтобы найти соотношение между этими скоростями, разделим выражение для среднеквадратичной скорости на выражение для наивероятнейшей скорости:

$\frac{v_{кв}}{v_в} = \frac{\sqrt{\frac{3kT}{m_0}}}{\sqrt{\frac{2kT}{m_0}}} = \sqrt{\frac{3kT}{m_0} \cdot \frac{m_0}{2kT}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$

Таким образом, среднеквадратичная скорость связана с наивероятнейшей следующим образом:

$v_{кв} = v_в \sqrt{\frac{3}{2}} \approx 1.22 \cdot v_в$

Или, выражая наивероятнейшую скорость через среднеквадратичную:

$v_в = v_{кв} \sqrt{\frac{2}{3}} \approx 0.82 \cdot v_{кв}$

Среднеквадратичная скорость всегда больше наивероятнейшей. Это объясняется асимметричной формой распределения Максвелла: длинный "хвост" распределения в области высоких скоростей вносит больший вклад в средний квадрат скорости (где скорости возводятся в квадрат), чем в наивероятнейшую скорость, которая является просто модой распределения.

Ответ: Наивероятнейшая скорость $v_в$ и среднеквадратичная скорость $v_{кв}$ связаны соотношениями $v_{кв} = v_в \sqrt{3/2}$ и $v_в = v_{кв} \sqrt{2/3}$. Среднеквадратичная скорость примерно в 1.22 раза больше наивероятнейшей.