Номер 2, страница 153 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Громцева

11. Электромагнетизм. 11.12.6. Вращение рамки в однородном магнитном поле - номер 2, страница 153.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Площадь рамки: $S = 0,2 \text{ м}^2$

Угловая скорость вращения: $\omega = 50 \text{ рад/с}$

Индукция магнитного поля: $B = 0,1 \text{ Тл}$

Все данные представлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

Максимальную величину ЭДС индукции: $\mathcal{E}_{max}$

Решение:

Электро-движущая сила (ЭДС) индукции, возникающая в замкнутом контуре, определяется законом электромагнитной индукции Фарадея. Согласно этому закону, ЭДС индукции $\mathcal{E}$ равна скорости изменения магнитного потока $\Phi$ через поверхность, ограниченную контуром, взятой со знаком минус:

$\mathcal{E} = - \frac{d\Phi}{dt}$

Магнитный поток $\Phi$ через рамку, находящуюся в однородном магнитном поле, вычисляется по формуле:

$\Phi = B \cdot S \cdot \cos(\alpha)$

где $B$ – модуль вектора магнитной индукции, $S$ – площадь рамки, а $\alpha$ – угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и вектором нормали (перпендикуляра) $\vec{n}$ к плоскости рамки.

По условию задачи, рамка вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$. Это означает, что угол $\alpha$ между нормалью к рамке и вектором магнитной индукции изменяется со временем по закону $\alpha(t) = \omega t + \alpha_0$. Для простоты выберем начальный момент времени $t=0$ таким, что начальный угол $\alpha_0 = 0$. Тогда $\alpha(t) = \omega t$.

Подставим это в формулу для магнитного потока:

$\Phi(t) = B \cdot S \cdot \cos(\omega t)$

Теперь, чтобы найти ЭДС индукции, возьмем производную от магнитного потока по времени:

$\mathcal{E}(t) = - \frac{d}{dt} (B \cdot S \cdot \cos(\omega t))$

Величины $B$ и $S$ являются постоянными, поэтому их можно вынести за знак производной:

$\mathcal{E}(t) = -B \cdot S \cdot \frac{d}{dt}(\cos(\omega t))$

Производная функции $\cos(\omega t)$ по времени $t$ равна $-\omega \sin(\omega t)$. Подставляем это в выражение для ЭДС:

$\mathcal{E}(t) = -B \cdot S \cdot (-\omega \sin(\omega t)) = B \cdot S \cdot \omega \cdot \sin(\omega t)$

Это выражение показывает, что ЭДС индукции изменяется по синусоидальному закону. Нам необходимо найти максимальное (амплитудное) значение этой ЭДС. Максимальное значение функции $\sin(\omega t)$ равно 1. Следовательно, максимальная ЭДС $\mathcal{E}_{max}$ достигается, когда $\sin(\omega t) = 1$:

$\mathcal{E}_{max} = B \cdot S \cdot \omega$

Подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу:

$\mathcal{E}_{max} = 0,1 \text{ Тл} \cdot 0,2 \text{ м}^2 \cdot 50 \text{ рад/с} = 0,02 \cdot 50 = 1 \text{ В}$

Ответ: максимальная величина ЭДС индукции, возникающей в рамке, равна 1 В.