Номер 3, страница 158 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Громцева

12.1. Уравнение и график колебательного процесса. 12. Электромагнитные колебания и волны - номер 3, страница 158.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Амплитудное значение заряда, $q_m = 3 \text{ мкКл}$

Промежуток времени, $t_1 = \frac{1}{12}T$, где $T$ - период колебаний

Начальная фаза, $\phi_0 = 0$

Закон колебаний: синусоидальный

$q_m = 3 \times 10^{-6} \text{ Кл}$

Найти:

Значение заряда $q$

Решение:

Закон изменения заряда на конденсаторе со временем при гармонических колебаниях описывается уравнением:

$q(t) = q_m \sin(\omega t + \phi_0)$

где $q_m$ — амплитуда заряда, $\omega$ — циклическая частота, $t$ — время, $\phi_0$ — начальная фаза.

По условию задачи, колебания происходят по закону синуса, а начальная фаза равна нулю ($\phi_0 = 0$). Тогда уравнение упрощается:

$q(t) = q_m \sin(\omega t)$

Сначала найдем момент времени $t_m$, когда заряд на конденсаторе впервые достигает своего амплитудного (максимального) значения $q_m$. Это происходит, когда значение синуса равно 1:

$\sin(\omega t_m) = 1$

Наименьшее положительное значение аргумента, при котором синус равен 1, это $\frac{\pi}{2}$.

$\omega t_m = \frac{\pi}{2}$

Циклическая частота $\omega$ связана с периодом колебаний $T$ соотношением $\omega = \frac{2\pi}{T}$. Подставим это в предыдущее выражение:

$\frac{2\pi}{T} t_m = \frac{\pi}{2}$

Отсюда найдем время $t_m$:

$t_m = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{T}{2\pi} = \frac{T}{4}$

Таким образом, заряд достигает своего амплитудного значения в момент времени $t_m = \frac{T}{4}$.

По условию, нам нужно найти значение заряда через $\frac{1}{12}$ часть периода после достижения амплитудного значения. То есть, в момент времени $t'$:

$t' = t_m + \frac{T}{12} = \frac{T}{4} + \frac{T}{12} = \frac{3T}{12} + \frac{T}{12} = \frac{4T}{12} = \frac{T}{3}$

Теперь подставим этот момент времени $t' = \frac{T}{3}$ в уравнение колебаний заряда:

$q(t') = q_m \sin(\omega t') = q_m \sin\left(\frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{3}\right)$

$q(t') = q_m \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)$

Значение синуса для угла $\frac{2\pi}{3}$ (или 120°) равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$q = q_m \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим амплитудное значение заряда $q_m = 3 \text{ мкКл}$:

$q = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ мкКл} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ мкКл}$

Вычислим приближенное значение:

$q \approx \frac{3 \cdot 1.732}{2} \approx 2.598 \text{ мкКл}$

Ответ: $q = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ мкКл} \approx 2.6 \text{ мкКл}$.