Номер 19, страница 184 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Громцева

14.3. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта. 14. Квантовая физика - номер 19, страница 184.

Решение.

Решение 2.

Дано

Красная граница фотоэффекта для цезия $λ_{кр} = 660 \text{ нм} = 6.6 \times 10^{-7} \text{ м}$

Длина волны облучающего света $λ = 400 \text{ нм} = 4.0 \times 10^{-7} \text{ м}$

Масса электрона $m_e = 9.1 \times 10^{-31} \text{ кг}$

Найти:

Скорость фотоэлектронов $v$.

Решение

Для решения задачи воспользуемся уравнением Эйнштейна для фотоэффекта:

$E = A_{вых} + E_k$

где $E$ — энергия падающего фотона, $A_{вых}$ — работа выхода электрона, $E_k$ — максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона.

Энергия фотона и работа выхода выражаются через длину волны света $λ$ и красную границу фотоэффекта $λ_{кр}$ соответственно:

$E = \frac{hc}{\lambda}$

$A_{вых} = \frac{hc}{\lambda_{кр}}$

где $h$ — постоянная Планка ($h \approx 6.63 \times 10^{-34}$ Дж·с), а $c$ — скорость света в вакууме ($c \approx 3 \times 10^8$ м/с).

Кинетическая энергия электрона связана с его скоростью $v$ и массой $m_e$:

$E_k = \frac{m_e v^2}{2}$

Подставим все выражения в исходное уравнение Эйнштейна:

$\frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda_{кр}} + \frac{m_e v^2}{2}$

Отсюда выразим кинетическую энергию электрона:

$\frac{m_e v^2}{2} = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_{кр}} = hc\left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{кр}}\right)$

Теперь выразим скорость $v$:

$v^2 = \frac{2hc}{m_e}\left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{кр}}\right)$

$v = \sqrt{\frac{2hc}{m_e}\left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{кр}}\right)}$

Подставим числовые значения в итоговую формулу:

$v = \sqrt{\frac{2 \cdot (6.63 \times 10^{-34}) \cdot (3 \times 10^8)}{9.1 \times 10^{-31}}\left(\frac{1}{4.0 \times 10^{-7}} - \frac{1}{6.6 \times 10^{-7}}\right)}$

Проведем вычисления по частям. Сначала вычислим разность обратных длин волн:

$\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{кр}} = \frac{1}{4.0 \times 10^{-7}} - \frac{1}{6.6 \times 10^{-7}} = \frac{10^7}{4.0} - \frac{10^7}{6.6} = 10^7 \left( \frac{6.6 - 4.0}{4.0 \cdot 6.6} \right) = 10^7 \left( \frac{2.6}{26.4} \right) \approx 0.09848 \times 10^7 \text{ м}^{-1} \approx 0.985 \times 10^6 \text{ м}^{-1}$

Теперь вычислим постоянный множитель:

$\frac{2hc}{m_e} = \frac{2 \cdot (6.63 \times 10^{-34}) \cdot (3 \times 10^8)}{9.1 \times 10^{-31}} = \frac{39.78 \times 10^{-26}}{9.1 \times 10^{-31}} \approx 4.371 \times 10^5 \text{ Дж·м/кг}$

Перемножим полученные значения, чтобы найти квадрат скорости:

$v^2 \approx (4.371 \times 10^5) \cdot (0.985 \times 10^6) \approx 4.305 \times 10^{11} \text{ м}^2/\text{с}^2$

Наконец, извлечем квадратный корень для нахождения скорости:

$v = \sqrt{4.305 \times 10^{11}} = \sqrt{43.05 \times 10^{10}} \approx 6.56 \times 10^5 \text{ м/с}$

Ответ: скорость фотоэлектронов составляет примерно $6.56 \times 10^5$ м/с.