Номер 20, страница 184 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Громцева

14. Квантовая физика. 14.3. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта - номер 20, страница 184.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Длина волны падающего излучения $ \lambda = 270 \text{ нм} = 2,7 \cdot 10^{-7} \text{ м} $

Красная граница фотоэффекта $ \lambda_{кр} = 285 \text{ нм} = 2,85 \cdot 10^{-7} \text{ м} $

Масса электрона $ m_e = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг} $

Постоянная Планка $ h \approx 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с} $

Скорость света в вакууме $ c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} $

Найти:

Максимальную скорость электронов $ v_{max} $.

Решение:

Для решения задачи используется уравнение Эйнштейна для фотоэффекта, которое связывает энергию падающего фотона с работой выхода и кинетической энергией выбитого электрона:

$ E = A_{вых} + E_{к_{max}} $

где $E$ – энергия падающего фотона, $A_{вых}$ – работа выхода электрона из металла, а $E_{к_{max}}$ – максимальная кинетическая энергия выбитого электрона.

Энергия фотона ($E$) и работа выхода ($A_{вых}$) могут быть выражены через длину волны ($ \lambda $) и красную границу фотоэффекта ($ \lambda_{кр} $) соответственно:

$ E = \frac{hc}{\lambda} $, $ A_{вых} = \frac{hc}{\lambda_{кр}} $

Подставив эти выражения в уравнение Эйнштейна, получим выражение для максимальной кинетической энергии электрона:

$ E_{к_{max}} = E - A_{вых} = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_{кр}} = hc \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{кр}} \right) $

Сначала вычислим значение максимальной кинетической энергии. Подставим числовые значения:

$ E_{к_{max}} = 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \frac{\text{м}}{\text{с}} \left( \frac{1}{2,7 \cdot 10^{-7} \text{ м}} - \frac{1}{2,85 \cdot 10^{-7} \text{ м}} \right) $

Выполним вычисления в скобках:

$ \frac{1}{2,7 \cdot 10^{-7}} - \frac{1}{2,85 \cdot 10^{-7}} = \frac{2,85 - 2,7}{2,7 \cdot 2,85 \cdot 10^{-14}} = \frac{0,15}{7,695 \cdot 10^{-14}} \approx 1,95 \cdot 10^{11} \text{ м}^{-1} $

Тогда кинетическая энергия равна:

$ E_{к_{max}} \approx 19,89 \cdot 10^{-26} \text{ Дж}\cdot\text{м} \cdot 1,95 \cdot 10^{11} \text{ м}^{-1} \approx 3,88 \cdot 10^{-20} \text{ Дж} $

Максимальная кинетическая энергия связана с максимальной скоростью электрона $ v_{max} $ по формуле:

$ E_{к_{max}} = \frac{m_e v_{max}^2}{2} $

Отсюда выразим максимальную скорость:

$ v_{max} = \sqrt{\frac{2 E_{к_{max}}}{m_e}} $

Подставим значения и найдем скорость:

$ v_{max} = \sqrt{\frac{2 \cdot 3,88 \cdot 10^{-20} \text{ Дж}}{9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}}} \approx \sqrt{0,853 \cdot 10^{11} \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} \approx \sqrt{8,53 \cdot 10^{10} \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} \approx 2,92 \cdot 10^5 \frac{\text{м}}{\text{с}} $

Округляя до двух значащих цифр (как в массе электрона), получаем $2,9 \cdot 10^5$ м/с.

Ответ: максимальная скорость выбиваемых электронов составляет примерно $2,9 \cdot 10^5$ м/с.