Номер 18, страница 184 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Громцева

14. Квантовая физика. 14.3. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта - номер 18, страница 184.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Частота падающего света, $\nu = 6 \cdot 10^{14}$ Гц

Красная граница фотоэффекта для цезия, $\lambda_{кр} = 620$ нм

Масса электрона, $m_e = 9,1 \cdot 10^{-31}$ кг

Постоянная Планка, $h \approx 6,63 \cdot 10^{-34}$ Дж·с

Скорость света в вакууме, $c = 3 \cdot 10^8$ м/с

Перевод в систему СИ:

$\lambda_{кр} = 620 \text{ нм} = 620 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 6,2 \cdot 10^{-7} \text{ м}$

Найти:

Максимальную скорость фотоэлектронов $v_{max}$.

Решение:

Для решения задачи используется уравнение Эйнштейна для фотоэффекта, которое связывает энергию падающего фотона с работой выхода электрона и его кинетической энергией:

$E_{ф} = A_{вых} + E_{к,max}$

где $E_{ф}$ — энергия падающего фотона, $A_{вых}$ — работа выхода электрона, $E_{к,max}$ — максимальная кинетическая энергия вылетевшего фотоэлектрона.

Энергия фотона вычисляется по формуле:

$E_{ф} = h\nu$

Работа выхода — это минимальная энергия, необходимая для удаления электрона с поверхности металла. Она связана с красной границей фотоэффекта $\lambda_{кр}$ (максимальной длиной волны света, еще способной вызвать фотоэффект) следующим соотношением:

$A_{вых} = \frac{hc}{\lambda_{кр}}$

Максимальная кинетическая энергия электрона связана с его массой $m_e$ и максимальной скоростью $v_{max}$:

$E_{к,max} = \frac{m_e v_{max}^2}{2}$

Подставим все выражения в исходное уравнение Эйнштейна:

$h\nu = \frac{hc}{\lambda_{кр}} + \frac{m_e v_{max}^2}{2}$

Выразим из этого уравнения максимальную кинетическую энергию электрона:

$\frac{m_e v_{max}^2}{2} = h\nu - \frac{hc}{\lambda_{кр}} = h(\nu - \frac{c}{\lambda_{кр}})$

Отсюда можем найти квадрат максимальной скорости, а затем и саму скорость:

$v_{max}^2 = \frac{2h}{m_e}(\nu - \frac{c}{\lambda_{кр}})$

$v_{max} = \sqrt{\frac{2h}{m_e}(\nu - \frac{c}{\lambda_{кр}})}$

Теперь проведем вычисления. Сначала найдем разность частот в скобках:

$\frac{c}{\lambda_{кр}} = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{620 \cdot 10^{-9} \text{ м}} \approx 0,484 \cdot 10^{15} \text{ Гц} = 4,84 \cdot 10^{14} \text{ Гц}$

$\nu - \frac{c}{\lambda_{кр}} = (6 \cdot 10^{14} - 4,84 \cdot 10^{14}) \text{ Гц} = 1,16 \cdot 10^{14} \text{ Гц}$

Подставим все числовые значения в формулу для максимальной скорости:

$v_{max} = \sqrt{\frac{2 \cdot 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с}}{9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}} \cdot 1,16 \cdot 10^{14} \text{ Гц}}$

$v_{max} = \sqrt{\frac{13,26 \cdot 10^{-34}}{9,1 \cdot 10^{-31}} \cdot 1,16 \cdot 10^{14}} \approx \sqrt{1,457 \cdot 10^{-3} \cdot 1,16 \cdot 10^{14}}$

$v_{max} \approx \sqrt{1,69 \cdot 10^{11}} = \sqrt{16,9 \cdot 10^{10}} \approx 4,11 \cdot 10^5$ м/с

Ответ: $v_{max} \approx 4,11 \cdot 10^5$ м/с.