Номер 4, страница 206 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Молекулярная физика. Глава 8. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа. Параграф 36. Тепловое движение молекул газа. Вопросы - номер 4, страница 206.

Условие.

4. Чем отличается:

а) средняя скорость молекулы от средней квадратичной скорости;

б) кинетическая энергия отдельных молекул от средней кинетической энергии хаотического движения молекул?

Решение.

а)

Различие между средней скоростью молекулы и средней квадратичной скоростью заключается в способе их вычисления и в их физическом смысле.

Средняя скорость (или, точнее, средняя векторная скорость) — это векторная величина, равная отношению векторной суммы скоростей всех молекул газа к их числу. Формула для средней скорости:

$\vec{v}_{ср} = \frac{\vec{v}_1 + \vec{v}_2 + \dots + \vec{v}_N}{N} = \frac{\sum_{i=1}^{N} \vec{v}_i}{N}$

Поскольку в газе молекулы движутся хаотично и во всех возможных направлениях, для любой молекулы, движущейся в одном направлении, найдется другая молекула, движущаяся в противоположном направлении с примерно такой же скоростью. В результате этого векторная сумма скоростей всех молекул газа, находящегося в состоянии покоя, стремится к нулю. Следовательно, средняя скорость молекул идеального газа равна нулю.

Средняя квадратичная скорость — это скалярная величина, которая характеризует интенсивность теплового движения молекул. Она не равна нулю (при температуре выше абсолютного нуля) и является мерой средней кинетической энергии молекул. Для её вычисления сначала находят среднее значение квадратов скоростей всех молекул (средний квадрат скорости), а затем извлекают из него квадратный корень.

Формула для средней квадратичной скорости:

$v_{кв} = \sqrt{\langle v^2 \rangle} = \sqrt{\frac{v_1^2 + v_2^2 + \dots + v_N^2}{N}}$

Возведение скоростей в квадрат позволяет избавиться от знаков (направлений), так как квадрат любого числа положителен. Поэтому средняя квадратичная скорость всегда является положительной величиной и напрямую связана с температурой газа: $v_{кв} = \sqrt{\frac{3kT}{m_0}}$, где $\text{k}$ – постоянная Больцмана, $\text{T}$ – абсолютная температура, $m_0$ – масса одной молекулы.

Ответ: Средняя скорость является вектором и равна нулю для газа в состоянии равновесия из-за хаотичности движения, в то время как средняя квадратичная скорость — это скалярная величина, которая характеризует тепловую энергию движения молекул, всегда положительна и зависит от температуры.

б)

Различие между кинетической энергией отдельных молекул и средней кинетической энергией хаотического движения молекул заключается в том, что первая является мгновенной характеристикой одной частицы, а вторая — усредненной, статистической характеристикой всей совокупности частиц.

Кинетическая энергия отдельной молекулы — это энергия, которой обладает конкретная молекула в данный момент времени. Она вычисляется по формуле:

$E_{ki} = \frac{m_0 v_i^2}{2}$

где $m_0$ – масса молекулы, а $v_i$ – её мгновенная скорость. Молекулы в газе постоянно сталкиваются друг с другом, обмениваясь при этом энергией. В результате скорость (а значит, и кинетическая энергия) каждой отдельной молекулы непрерывно и хаотично изменяется. В любой момент времени в газе есть молекулы с очень малыми и очень большими энергиями, а распределение молекул по энергиям описывается распределением Максвелла-Больцмана.

Средняя кинетическая энергия хаотического движения молекул — это усредненное значение кинетических энергий всех молекул газа. Она вычисляется как общая кинетическая энергия всех молекул, деленная на их число:

$\langle E_k \rangle = \frac{E_{k1} + E_{k2} + \dots + E_{kN}}{N} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \frac{m_0 v_i^2}{2} = \frac{m_0 \langle v^2 \rangle}{2}$

Эта величина является одной из важнейших характеристик состояния газа, так как она напрямую пропорциональна его абсолютной температуре. Согласно молекулярно-кинетической теории, для идеального газа:

$\langle E_k \rangle = \frac{i}{2}kT$

где $\text{i}$ – число степеней свободы молекулы (для одноатомного газа $i=3$), $\text{k}$ – постоянная Больцмана, $\text{T}$ – абсолютная температура. В отличие от энергии отдельной молекулы, средняя кинетическая энергия для газа, находящегося в состоянии теплового равновесия при постоянной температуре, является постоянной величиной. Она является мерой температуры тела.

Ответ: Кинетическая энергия отдельной молекулы — это мгновенная, микроскопическая величина, которая постоянно меняется из-за столкновений. Средняя кинетическая энергия — это постоянная для данной температуры, макроскопическая величина, которая характеризует состояние всей системы молекул в целом и является мерой температуры газа.