Номер 5, страница 206 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Молекулярная физика. Глава 8. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа. Параграф 36. Тепловое движение молекул газа. Вопросы - номер 5, страница 206.

Условие.

5. Как связаны между собой средний квадрат проекции скорости и средний квадрат скорости хаотического движения молекул?

Решение.

Скорость молекулы является векторной величиной $ \vec{v} $. В трехмерной декартовой системе координат квадрат модуля скорости связан с квадратами его проекций ($v_x, v_y, v_z$) на оси координат соотношением, следующим из теоремы Пифагора:

$ v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 $

Для описания системы из большого числа молекул используются средние значения. Усредним данное равенство по всем молекулам. Обозначим операцию усреднения угловыми скобками $ \langle \dots \rangle $. Так как усреднение является линейной операцией, мы можем записать:

$ \langle v^2 \rangle = \langle v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 \rangle = \langle v_x^2 \rangle + \langle v_y^2 \rangle + \langle v_z^2 \rangle $

Здесь $ \langle v^2 \rangle $ – средний квадрат скорости, а $ \langle v_x^2 \rangle $, $ \langle v_y^2 \rangle $, $ \langle v_z^2 \rangle $ – средние квадраты проекций скорости на соответствующие оси.

Хаотическое тепловое движение молекул газа изотропно, то есть ни одно из направлений движения не является предпочтительным. Это означает, что в среднем движение вдоль оси $\text{x}$, оси $\text{y}$ и оси $\text{z}$ происходит одинаково. Следовательно, средние квадраты проекций скорости на все три оси равны:

$ \langle v_x^2 \rangle = \langle v_y^2 \rangle = \langle v_z^2 \rangle $

Подставив это условие равноправности направлений в усредненное уравнение для квадрата скорости, получим:

$ \langle v^2 \rangle = \langle v_x^2 \rangle + \langle v_x^2 \rangle + \langle v_x^2 \rangle = 3 \langle v_x^2 \rangle $

Из этого соотношения следует искомая связь:

$ \langle v_x^2 \rangle = \frac{1}{3} \langle v^2 \rangle $

Таким образом, средний квадрат проекции скорости на любую координатную ось в три раза меньше среднего квадрата скорости хаотического движения молекулы.

Ответ: Средний квадрат проекции скорости на любую из осей и средний квадрат скорости хаотического движения молекул связаны соотношением $ \langle v_x^2 \rangle = \langle v_y^2 \rangle = \langle v_z^2 \rangle = \frac{1}{3} \langle v^2 \rangle $.