Номер 10, страница 352 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Лабораторные работы. 2. Измерение ускорения тела при равноускоренном прямолинейном движении - номер 10, страница 352.

Условие.

10. Рассчитайте для каждого опыта относительную погрешность $\epsilon$ косвенного измерения модуля ускорения каретки и результат вычисления запишите в таблицу. В каком случае качество измерения модуля ускорения каретки выше?

Решение.

Для расчета относительной погрешности косвенного измерения модуля ускорения каретки необходимо знать формулу, по которой вычисляется ускорение, а также значения измеряемых величин и их абсолютные погрешности для каждого опыта. Предположим, что ускорение каретки, движущейся из состояния покоя, определяется по формуле равноускоренного движения: $s = \frac{at^2}{2}$, откуда ускорение $\text{a}$ можно выразить как:

$a = \frac{2s}{t^2}$

Здесь $\text{s}$ — путь, пройденный кареткой, а $\text{t}$ — время движения. Эти величины измеряются непосредственно (прямые измерения).

Относительная погрешность $ε_a$ косвенно измеряемой величины $\text{a}$ вычисляется по формуле для погрешности частного и степени:

$ε_a = ε_s + 2ε_t$, где $ε_s = \frac{Δs}{s}$ и $ε_t = \frac{Δt}{t}$ — относительные погрешности прямых измерений пути и времени соответственно, а $Δs$ и $Δt$ — их абсолютные погрешности.

Поскольку в вопросе не приведены данные экспериментов, для демонстрации решения воспользуемся гипотетическими, но типичными для такой работы, данными для двух опытов.

Дано:

Опыт 1:
Пройденный путь, $s_1 = 0.500$ м
Время движения, $t_1 = 2.00$ с
Абсолютная погрешность измерения пути, $Δs = 0.001$ м
Абсолютная погрешность измерения времени, $Δt = 0.02$ с

Опыт 2:
Пройденный путь, $s_2 = 1.000$ м
Время движения, $t_2 = 2.83$ с
Абсолютная погрешность измерения пути, $Δs = 0.001$ м
Абсолютная погрешность измерения времени, $Δt = 0.02$ с

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Для каждого опыта: относительную погрешность $ε_a$ и результат измерения ускорения $\text{a}$.
Определить, в каком опыте качество измерения выше.

Решение:

Расчет для опыта 1

1. Вычислим модуль ускорения каретки:

$a_1 = \frac{2s_1}{t_1^2} = \frac{2 \cdot 0.500 \text{ м}}{(2.00 \text{ с})^2} = \frac{1.000}{4.00} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 0.250 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

2. Рассчитаем относительные погрешности прямых измерений:

$ε_{s1} = \frac{Δs}{s_1} = \frac{0.001 \text{ м}}{0.500 \text{ м}} = 0.002$

$ε_{t1} = \frac{Δt}{t_1} = \frac{0.02 \text{ с}}{2.00 \text{ с}} = 0.01$

3. Рассчитаем относительную погрешность измерения ускорения:

$ε_{a1} = ε_{s1} + 2ε_{t1} = 0.002 + 2 \cdot 0.01 = 0.002 + 0.02 = 0.022$

В процентах: $ε_{a1} = 0.022 \cdot 100\% = 2.2\%$

4. Вычислим абсолютную погрешность измерения ускорения:

$Δa_1 = a_1 \cdot ε_{a1} = 0.250 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0.022 \approx 0.0055 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Округляем абсолютную погрешность до одной значащей цифры: $Δa_1 \approx 0.006 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.

5. Запишем окончательный результат для ускорения, округлив значение $a_1$ до того же десятичного разряда, что и погрешность:

$a_1 = (0.250 \pm 0.006) \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Расчет для опыта 2

1. Вычислим модуль ускорения каретки:

$a_2 = \frac{2s_2}{t_2^2} = \frac{2 \cdot 1.000 \text{ м}}{(2.83 \text{ с})^2} = \frac{2.000}{8.0089} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \approx 0.250 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

2. Рассчитаем относительные погрешности прямых измерений:

$ε_{s2} = \frac{Δs}{s_2} = \frac{0.001 \text{ м}}{1.000 \text{ м}} = 0.001$

$ε_{t2} = \frac{Δt}{t_2} = \frac{0.02 \text{ с}}{2.83 \text{ с}} \approx 0.00707$

3. Рассчитаем относительную погрешность измерения ускорения:

$ε_{a2} = ε_{s2} + 2ε_{t2} \approx 0.001 + 2 \cdot 0.00707 = 0.001 + 0.01414 = 0.01514$

В процентах: $ε_{a2} \approx 0.015 \cdot 100\% = 1.5\%$

4. Вычислим абсолютную погрешность измерения ускорения:

$Δa_2 = a_2 \cdot ε_{a2} \approx 0.250 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0.01514 \approx 0.003785 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Округляем абсолютную погрешность до одной значащей цифры: $Δa_2 \approx 0.004 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.

5. Запишем окончательный результат для ускорения:

$a_2 = (0.250 \pm 0.004) \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Занесение результатов в таблицу

Результаты вычислений для каждого опыта сведены в таблицу.

Параметр	Опыт 1	Опыт 2
Измеренное ускорение, $a, \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$	0.250	0.250
Относительная погрешность, $ε_a, \%$	2.2%	1.5%
Результат, $a = (\overline{a} \pm Δa), \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$	$(0.250 \pm 0.006)$	$(0.250 \pm 0.004)$

Сравнение качества измерений

Качество измерения тем выше, чем меньше его относительная погрешность. Сравним относительные погрешности, полученные в двух опытах:

$ε_{a1} = 2.2\%$

$ε_{a2} = 1.5\%$

Поскольку $1.5\% < 2.2\%$, то $ε_{a2} < ε_{a1}$. Это означает, что измерение во втором опыте было более точным.

Уменьшение относительной погрешности во втором опыте было достигнуто за счет увеличения измеряемых величин (пути и времени) при неизменных абсолютных погрешностях измерительных приборов.

Ответ:

Результаты расчетов сведены в таблицу. Относительная погрешность в первом опыте составила $ε_{a1} = 2.2\%$, во втором — $ε_{a2} = 1.5\%$. Качество измерения модуля ускорения каретки выше во втором случае, так как относительная погрешность измерения в этом опыте меньше.