Номер 4, страница 46 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 2. Кинематика материальной точки. Параграф 12. Прямолинейное движение с постоянным ускорением. Задачи - номер 4, страница 46.

Условие.

4. Используя данные задачи 3, постройте график зависимости скорости автомобиля от времени. Найдите графически длину тормозного пути автомобиля. Постройте график движения автомобиля.

Решение.

Поскольку данные из задачи 3 не предоставлены, для решения задачи воспользуемся типичными и правдоподобными значениями для автомобиля, совершающего торможение до полной остановки.

Дано:

Начальная скорость автомобиля, $v_0 = 72$ км/ч

Время торможения до полной остановки, $t_{торм} = 4$ с

Конечная скорость автомобиля, $v = 0$ м/с

Начальная координата, $x_0 = 0$ м

Перевод в систему СИ:

Начальная скорость: $v_0 = 72 \frac{км}{ч} = 72 \cdot \frac{1000 \ м}{3600 \ с} = 20 \ м/с$

Найти:

1. Построить график зависимости скорости от времени $v(t)$.

2. Найти графически длину тормозного пути $S$.

3. Построить график движения $x(t)$.

Решение:

Движение автомобиля при торможении является равнозамедленным (движение с постоянным отрицательным ускорением). Сначала определим ускорение автомобиля.

Ускорение $a$ можно найти по формуле: $a = \frac{v - v_0}{t_{торм}}$.

Подставим числовые значения:

$a = \frac{0 \ м/с - 20 \ м/с}{4 \ с} = -5 \ м/с^2$.

Знак «минус» означает, что вектор ускорения направлен в сторону, противоположную вектору начальной скорости.

Построение графика зависимости скорости автомобиля от времени

Уравнение зависимости скорости от времени при равноускоренном движении имеет вид $v(t) = v_0 + at$. Для нашего случая уравнение примет вид:

$v(t) = 20 - 5t$.

Эта зависимость является линейной, следовательно, ее график — прямая линия. Для построения прямой достаточно двух точек. Возьмем начальный и конечный моменты времени торможения: при $t = 0 \ с$ (начало торможения), скорость $v(0) = 20 - 5 \cdot 0 = 20 \ м/с$ (точка на графике (0; 20)); при $t = 4 \ с$ (конец торможения), скорость $v(4) = 20 - 5 \cdot 4 = 0 \ м/с$ (точка на графике (4; 0)).

Таким образом, график $v(t)$ — это отрезок прямой, соединяющий точки (0, 20) и (4, 0) на координатной плоскости, где по оси абсцисс отложено время $t$ в секундах, а по оси ординат — скорость $v$ в м/с. График наглядно показывает, как скорость автомобиля линейно уменьшается от 20 м/с до 0 в течение 4 секунд.

Ответ: График зависимости скорости от времени является отрезком прямой, проходящим через точки (0; 20) и (4; 0) на плоскости $(t, v)$, и описывается уравнением $v(t) = 20 - 5t$.

Графическое нахождение длины тормозного пути автомобиля

Тормозной путь, пройденный телом за некоторый промежуток времени, численно равен площади фигуры, ограниченной графиком скорости, осью времени и перпендикулярами к оси времени в начальный и конечный моменты.

В нашем случае фигура под графиком $v(t)$ на интервале от $t=0$ до $t=4$ с — это прямоугольный треугольник. Его катеты равны начальной скорости $v_0 = 20 \ м/с$ (вертикальный катет) и времени торможения $t_{торм} = 4 \ с$ (горизонтальный катет).

Площадь треугольника $S$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

$S = \frac{1}{2} \cdot t_{торм} \cdot v_0 = \frac{1}{2} \cdot 4 \ с \cdot 20 \ м/с = 40 \ м$.

Ответ: Длина тормозного пути автомобиля, найденная как площадь под графиком скорости, составляет 40 м.

Построение графика движения автомобиля

График движения — это зависимость координаты тела от времени $x(t)$. Уравнение движения при равноускоренном движении имеет вид:

$x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{at^2}{2}$.

Приняв, что в начальный момент времени ($t=0$) автомобиль находился в начале координат ($x_0 = 0$), и подставив известные значения $v_0 = 20 \ м/с$ и $a = -5 \ м/с^2$, получим:

$x(t) = 20t - \frac{5t^2}{2} = 20t - 2.5t^2$.

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Так как коэффициент при $t^2$ отрицательный ($-2.5$), ветви параболы направлены вниз. Для построения графика на интервале $t \in [0, 4]$ вычислим координаты нескольких точек: при $t=0 \ с, x(0) = 0 \ м$ (точка (0; 0)); при $t=1 \ с, x(1) = 17.5 \ м$ (точка (1; 17.5)); при $t=2 \ с, x(2) = 30 \ м$ (точка (2; 30)); при $t=3 \ с, x(3) = 37.5 \ м$ (точка (3; 37.5)); при $t=4 \ с, x(4) = 40 \ м$ (точка (4; 40)).

График движения $x(t)$ — это кривая (участок параболы), которая начинается в начале координат, плавно поднимается вверх (наклон касательной, т.е. скорость, постепенно уменьшается), достигая максимального значения 40 м в момент времени 4 с, когда автомобиль останавливается. Вершина параболы находится в точке (4, 40).

Ответ: График движения автомобиля является участком параболы, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке (4; 40). Уравнение движения: $x(t) = 20t - 2.5t^2$.