Номер 2, страница 118 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 4. Законы сохранения. Параграф 26. Импульс материальной точки. Задачи - номер 2, страница 118.

Условие.

2. Автомобиль массой 2000 кг, двигаясь на север со скоростью 90 км/ч, повернул на перпендикулярное шоссе, ведущее на восток. Определите направление и модуль изменения импульса автомобиля.

Решение.

Дано:

Масса автомобиля, $m = 2000$ кг
Начальная скорость, $v_1 = 90$ км/ч (направлена на север)
Конечная скорость, $v_2 = 90$ км/ч (направлена на восток)

Перевод в систему СИ:

Скорость автомобиля: $v = 90 \text{ км/ч} = 90 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 25 \text{ м/с}$.
Таким образом, модуль начальной и конечной скорости равен $v_1 = v_2 = v = 25$ м/с.

Найти:

Модуль изменения импульса, $|\Delta\vec{p}| - ?$
Направление вектора изменения импульса $\Delta\vec{p} - ?$

Решение:

Импульс тела определяется как произведение его массы на скорость: $\vec{p} = m\vec{v}$.
Изменение импульса автомобиля равно разности его конечного и начального импульсов: $\Delta\vec{p} = \vec{p_2} - \vec{p_1}$.

Выберем систему координат: ось OY направим на север, а ось OX — на восток.

Начальный импульс автомобиля, движущегося на север (вдоль оси OY), равен:
$\vec{p_1} = m\vec{v_1}$.
Его модуль: $p_1 = m \cdot v = 2000 \text{ кг} \cdot 25 \text{ м/с} = 50000 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$. Вектор $\vec{p_1}$ направлен на север.

Конечный импульс автомобиля, движущегося на восток (вдоль оси OX), равен:
$\vec{p_2} = m\vec{v_2}$.
Его модуль: $p_2 = m \cdot v = 2000 \text{ кг} \cdot 25 \text{ м/с} = 50000 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$. Вектор $\vec{p_2}$ направлен на восток.

Изменение импульса $\Delta\vec{p}$ является векторной разностью $\vec{p_2} - \vec{p_1}$. Геометрически это можно представить как сумму векторов $\vec{p_2}$ и $(-\vec{p_1})$. Вектор $(-\vec{p_1})$ имеет тот же модуль, что и $\vec{p_1}$, но направлен в противоположную сторону, то есть на юг.

Векторы $\vec{p_2}$ (направлен на восток) и $(-\vec{p_1})$ (направлен на юг) перпендикулярны друг другу. Модуль их векторной суммы можно найти по теореме Пифагора:
$|\Delta\vec{p}| = \sqrt{p_2^2 + (-p_1)^2} = \sqrt{p_2^2 + p_1^2}$.

Подставим числовые значения:
$|\Delta\vec{p}| = \sqrt{(50000)^2 + (50000)^2} = \sqrt{2 \cdot (50000)^2} = 50000\sqrt{2} \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.

Вычислим приближенное значение:
$|\Delta\vec{p}| \approx 50000 \cdot 1.414 = 70700 \text{ кг}\cdot\text{м/с} \approx 7.07 \cdot 10^4 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.

Направление вектора изменения импульса $\Delta\vec{p}$ совпадает с направлением векторной суммы $\vec{p_2} + (-\vec{p_1})$. Так как мы складываем два перпендикулярных вектора одинаковой длины (один направлен на восток, другой на юг), результирующий вектор будет направлен под углом 45° к каждому из них, то есть на юго-восток.

Ответ: модуль изменения импульса равен $50000\sqrt{2} \text{ кг}\cdot\text{м/с}$ (приблизительно $7.07 \cdot 10^4 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$), направление — на юго-восток.