Номер 3, страница 123 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Вопросы. Параграф 27. Закон сохранения импульса. 4. Законы сохранения. Механика - номер 3, страница 123.

Условие.

3. Якорь дважды бросают с носа лодки в сторону кормы с одинаковой начальной скоростью под одним и тем же углом к горизонту. В первом случае, когда лодка пришвартована к пирсу, якорь падает на край кормы. Куда упадёт якорь во втором случае, когда лодка покоится на воде, но не пришвартована?

Решение.

3. Дано:
$v_{0}$ - начальная скорость якоря относительно лодки
$\alpha$ - угол броска к горизонту
$L$ - длина лодки
$m$ - масса якоря
$M$ - масса лодки
Случай 1: лодка пришвартована, якорь падает на край кормы.
Случай 2: лодка не пришвартована, покоится на воде.

Найти:
Место падения якоря во втором случае.

Решение:
Рассмотрим оба случая. Время полета якоря $T$ определяется только его начальной вертикальной скоростью и ускорением свободного падения. Поскольку якорь бросают с одинаковой начальной скоростью $v_0$ под одним и тем же углом $\alpha$ относительно лодки, а лодка не совершает вертикальных движений, начальная вертикальная скорость якоря относительно воды (и земли) в обоих случаях одинакова: $v_{0y} = v_0 \sin\alpha$. Следовательно, время полета якоря $T$ в обоих случаях будет одинаковым.

Случай 1: Лодка пришвартована.
В этом случае лодка неподвижна относительно земли. Скорость якоря относительно земли равна его скорости относительно лодки. Горизонтальная составляющая этой скорости равна $v_{0x} = v_0 \cos\alpha$.
По условию, за время полета $T$ якорь пролетает по горизонтали расстояние, равное длине лодки $L$.
$L = v_{0x} \cdot T = (v_0 \cos\alpha) \cdot T$
Это соотношение, полученное из первого эксперимента, связывает длину лодки с параметрами броска.

Случай 2: Лодка не пришвартована.
В этом случае систему "лодка + якорь" можно считать замкнутой в горизонтальном направлении (пренебрегая сопротивлением воды). Поэтому для этой системы выполняется закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось. Изначально система покоится, поэтому ее суммарный импульс равен нулю.
Пусть $v_я$ - горизонтальная скорость якоря относительно земли, а $V_л$ - горизонтальная скорость лодки относительно земли. Начальная скорость якоря относительно лодки по-прежнему $v_{0x}$. Тогда скорость якоря относительно земли связана со скоростью лодки соотношением: $v_я = v_{0x} + V_л$.
Запишем закон сохранения импульса:
$m \cdot v_я + M \cdot V_л = 0$
Подставим выражение для $v_я$:
$m \cdot (v_{0x} + V_л) + M \cdot V_л = 0$
$m \cdot v_{0x} + (m+M) \cdot V_л = 0$
Отсюда находим скорость лодки (скорость отдачи):
$V_л = - \frac{m}{m+M} v_{0x}$
Знак "минус" показывает, что лодка движется в направлении, противоположном горизонтальному направлению броска якоря (т.е. лодка движется вперед, так как якорь бросают назад, в сторону кормы).

Теперь определим, куда упадет якорь. Для этого сравним горизонтальное перемещение якоря и кормы лодки за время полета $T$. Выберем систему отсчета, связанную с землей, с началом в точке броска (на носу лодки в начальный момент времени).
Горизонтальное перемещение якоря за время $T$ относительно земли:
$S_я = v_я \cdot T = (v_{0x} + V_л) \cdot T = (v_{0x} - \frac{m}{m+M} v_{0x}) \cdot T = \frac{M}{m+M} v_{0x} T$
Используя соотношение из первого случая $L = v_{0x} T$, получаем:
$S_я = \frac{M}{m+M} L$
Начальное положение кормы было на расстоянии $L$ от точки броска. За время $T$ лодка (и ее корма) сместилась на расстояние $S_л = V_л \cdot T$. Новое положение кормы относительно начальной точки броска:
$L_{корма} = L + S_л = L + V_л \cdot T = L - \frac{m}{m+M} v_{0x} T$
Снова подставляем $L = v_{0x} T$:
$L_{корма} = L - \frac{m}{m+M} L = \frac{(m+M)-m}{m+M} L = \frac{M}{m+M} L$
Сравнивая конечные положения якоря $S_я$ и кормы $L_{корма}$, мы видим, что они равны: $S_я = L_{корма}$.
Это означает, что якорь упадет точно на край кормы.

Альтернативное, более простое рассуждение:
Условие "с одинаковой начальной скоростью под одним и тем же углом" означает, что параметры броска относительно лодки (человека на ней) не изменились. Время полета якоря $T$ зависит только от вертикальной составляющей начальной скорости и не меняется. Горизонтальная скорость якоря *относительно лодки* также осталась прежней ($v_{0x}$). Следовательно, расстояние, которое якорь пролетит по горизонтали *относительно лодки* за время полета $T$, будет таким же, как и в первом случае. В первом случае это расстояние было равно длине лодки $L$. Значит, и во втором случае якорь, брошенный с носа, пролетит относительно лодки расстояние $L$ и упадет на ее корму.

Ответ: Во втором случае, когда лодка не пришвартована, якорь снова упадет на край кормы.