Номер 4, страница 124 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Задачи. Параграф 27. Закон сохранения импульса. 4. Законы сохранения. Механика - номер 4, страница 124.

Условие.

4. Человек массой $m = 70 \text{ кг}$ переходит с кормы лодки на нос. Масса лодки $M = 130 \text{ кг}$, её длина $l = 4 \text{ м}$. На какое расстояние и в какую сторону отплывёт лодка?

Решение.

Дано:

Масса человека, $m = 70$ кг
Масса лодки, $M = 130$ кг
Длина лодки, $l = 4$ м
Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Расстояние $S$ и направление, в котором отплывёт лодка.

Решение:

Систему «человек – лодка» можно считать замкнутой в горизонтальном направлении, так как внешние силы (сила тяжести и сила Архимеда) уравновешены, а сопротивлением воды можно пренебречь. Следовательно, для этой системы выполняется закон сохранения импульса. Поскольку в начальный момент система покоилась, её суммарный импульс был равен нулю и должен оставаться таковым в процессе движения человека.

Это также означает, что центр масс системы «человек – лодка» не будет изменять своего положения относительно воды (берега).

Введём систему координат, ось $Ox$ которой направлена вдоль лодки от кормы к носу. Начало координат $(x=0)$ свяжем с первоначальным положением кормы лодки.

В начальный момент времени человек находится на корме, его координата $x_ч = 0$. Центр масс лодки находится посередине, его координата $x_л = l/2$. Координата центра масс всей системы в начальный момент времени: $X_1 = \frac{m \cdot x_ч + M \cdot x_л}{m + M} = \frac{m \cdot 0 + M \cdot \frac{l}{2}}{m + M} = \frac{Ml}{2(m + M)}$

Когда человек переходит на нос лодки, лодка смещается на некоторое расстояние $S$ в противоположном направлении (в сторону кормы). Новое положение кормы будет $x = -S$. Новая координата человека (который теперь на носу) будет $x'_ч = l - S$. Новая координата центра масс лодки будет $x'_л = \frac{l}{2} - S$. Координата центра масс всей системы в конечный момент времени: $X_2 = \frac{m \cdot x'_ч + M \cdot x'_л}{m + M} = \frac{m(l - S) + M(\frac{l}{2} - S)}{m + M}$

Так как положение центра масс системы не меняется, $X_1 = X_2$: $\frac{Ml}{2(m + M)} = \frac{m(l - S) + M(\frac{l}{2} - S)}{m + M}$

Умножим обе части на $(m + M)$: $\frac{Ml}{2} = m(l - S) + M(\frac{l}{2} - S)$ $\frac{Ml}{2} = ml - mS + \frac{Ml}{2} - MS$ $0 = ml - mS - MS$ $S(m + M) = ml$

Отсюда находим искомое расстояние $S$: $S = \frac{ml}{m + M}$

Подставим числовые значения: $S = \frac{70 \cdot 4}{70 + 130} = \frac{280}{200} = 1.4$ м.

Направление движения лодки противоположно направлению движения человека. Так как человек идёт от кормы к носу, лодка будет двигаться в сторону кормы.

Ответ: Лодка отплывёт на расстояние 1,4 м в сторону, противоположную движению человека (т.е. в сторону кормы).