Номер 3, страница 124 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Задачи. Параграф 27. Закон сохранения импульса. 4. Законы сохранения. Механика - номер 3, страница 124.

Условие.

3. Из орудия, установленного на гладкой горизонтальной поверхности, вылетает снаряд массой $m = 20 \text{ кг}$ со скоростью $v_0 = 200 \text{ м/с}$ под углом $\alpha = 30^\circ$ к горизонту. Какую скорость приобретёт орудие после выстрела, если его масса $M = 2000 \text{ кг}$?

Решение.

Дано:

Масса снаряда, $m = 20$ кг
Начальная скорость снаряда, $v_0 = 200$ м/с
Угол вылета снаряда к горизонту, $\alpha = 30^\circ$
Масса орудия, $M = 2000$ кг

Все данные представлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

Скорость орудия после выстрела, $u$.

Решение:

Данная задача решается с помощью закона сохранения импульса. Рассмотрим систему, состоящую из орудия и снаряда. До выстрела эта система находилась в состоянии покоя, следовательно, ее суммарный импульс был равен нулю.

В процессе выстрела на систему действуют внутренние силы (сила давления пороховых газов), которые и приводят тела в движение. Внешними силами являются сила тяжести и сила реакции опоры. Они действуют в вертикальном направлении и уравновешивают друг друга. По условию, орудие находится на гладкой горизонтальной поверхности, поэтому силой трения можно пренебречь. Таким образом, в горизонтальном направлении на систему не действуют внешние силы. Это означает, что проекция суммарного импульса системы на горизонтальную ось сохраняется.

Направим горизонтальную ось $Ox$ в сторону вылета снаряда.

Суммарный импульс системы до выстрела в проекции на ось $Ox$ равен нулю: $P_{до, x} = 0$.

После выстрела снаряд движется со скоростью $v_0$ под углом $\alpha$ к горизонту. Горизонтальная проекция его скорости равна $v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)$. Импульс снаряда в проекции на ось $Ox$ будет: $p_{снаряда, x} = m v_{0x} = m v_0 \cos(\alpha)$.

В результате выстрела орудие приобретает скорость $u$ и движется в направлении, противоположном горизонтальному движению снаряда (отдача). Поэтому проекция скорости орудия на ось $Ox$ будет отрицательной и равной $-u$. Импульс орудия в проекции на ось $Ox$: $p_{орудия, x} = -M u$.

Суммарный импульс системы после выстрела в проекции на ось $Ox$ равен сумме импульсов снаряда и орудия: $P_{после, x} = p_{снаряда, x} + p_{орудия, x} = m v_0 \cos(\alpha) - M u$.

Согласно закону сохранения импульса, $P_{до, x} = P_{после, x}$: $0 = m v_0 \cos(\alpha) - M u$.

Из этого уравнения выразим искомую скорость орудия $u$: $M u = m v_0 \cos(\alpha)$ $u = \frac{m v_0 \cos(\alpha)}{M}$.

Теперь выполним вычисления, подставив числовые значения: $u = \frac{20 \text{ кг} \cdot 200 \text{ м/с} \cdot \cos(30^\circ)}{2000 \text{ кг}}$.

Известно, что $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. $u = \frac{4000}{2000} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ м/с} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ м/с} = \sqrt{3} \text{ м/с}$.

Вычислим приближенное значение: $u \approx 1.732$ м/с.

Ответ: скорость орудия после выстрела равна $\sqrt{3}$ м/с, что приблизительно составляет 1.73 м/с.