Номер 5, страница 124 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 4. Законы сохранения. Параграф 27. Закон сохранения импульса. Задачи - номер 5, страница 124.

Условие.

5. Снаряд, вылетевший из орудия, разорвался в верхней точке траектории на высоте $1960 \text{ м}$ на два равных осколка. Скорость снаряда перед разрывом равна $100 \text{ м/с}$. Один из осколков полетел горизонтально в обратном направлении со скоростью, вдвое большей. На каком расстоянии друг от друга осколки упадут на землю?

Решение.

Дано:

Высота разрыва снаряда, $h = 1960$ м

Скорость снаряда перед разрывом, $v = 100$ м/с

Снаряд разрывается на два равных осколка, следовательно, масса первого осколка $m_1$ равна массе второго осколка $m_2$. Обозначим их как $m$. Масса всего снаряда до разрыва $M = m_1 + m_2 = 2m$.

Скорость первого осколка после разрыва, $v_1' = 2v = 2 \cdot 100 = 200$ м/с. Направление этой скорости противоположно начальной скорости снаряда.

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с²

Найти:

Расстояние между осколками после их падения на землю, $L$.

Решение:

1. Разрыв снаряда является внутренним процессом для системы, состоящей из осколков. Поэтому для этой системы выполняется закон сохранения импульса. В верхней точке траектории скорость снаряда направлена горизонтально. Выберем ось OX, направленную в сторону движения снаряда до разрыва. Тогда закон сохранения импульса в проекции на эту ось имеет вид:

$Mv = m_1(-v_1') + m_2v_2'$

где $v_2'$ – скорость второго осколка. Знак минус у скорости $v_1'$ указывает на то, что первый осколок летит в обратном направлении.

Подставим известные массы и скорости:

$2mv = m(-2v) + mv_2'$

Сократим на массу осколка $m$:

$2v = -2v + v_2'$

Отсюда найдем скорость второго осколка:

$v_2' = 4v = 4 \cdot 100 \text{ м/с} = 400 \text{ м/с}$

Скорость второго осколка направлена в ту же сторону, что и первоначальная скорость снаряда.

2. После разрыва оба осколка начинают падать с высоты $h$ с нулевой начальной вертикальной скоростью. Время их падения будет одинаковым. Найдем это время из формулы для равноускоренного движения:

$h = \frac{gt^2}{2}$

Отсюда время падения $t$:

$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1960 \text{ м}}{9.8 \text{ м/с}^2}} = \sqrt{\frac{3920}{9.8}} \text{ с} = \sqrt{400} \text{ с} = 20 \text{ с}$

3. За время падения $t$ каждый из осколков пролетит по горизонтали некоторое расстояние. Пусть точка на земле прямо под местом взрыва будет началом отсчета (x=0).

Горизонтальная дальность полета первого осколка (в обратном направлении):

$L_1 = v_1' \cdot t = 200 \text{ м/с} \cdot 20 \text{ с} = 4000 \text{ м}$

Горизонтальная дальность полета второго осколка:

$L_2 = v_2' \cdot t = 400 \text{ м/с} \cdot 20 \text{ с} = 8000 \text{ м}$

4. Поскольку осколки летели в противоположных направлениях от точки, находящейся над местом взрыва, расстояние между ними на земле будет равно сумме их горизонтальных дальностей полета:

$L = L_1 + L_2 = 4000 \text{ м} + 8000 \text{ м} = 12000 \text{ м}$

Это расстояние можно также выразить в километрах: $12000 \text{ м} = 12 \text{ км}$.

Ответ: Расстояние между осколками, когда они упадут на землю, составит $12000$ м или $12$ км.