Номер 5, страница 118 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Задачи. Параграф 26. Импульс материальной точки. 4. Законы сохранения. Механика - номер 5, страница 118.

Условие.

5. Молекула газа массой $\text{m}$ упруго ударяется о стенку сосуда, двигаясь со скоростью $\text{v}$, составляющей угол $\alpha$ с перпендикуляром к стенке. Какой импульс и в каком направлении сообщает молекула стенке?

Решение.

Дано:

Масса молекулы: $m$

Скорость молекулы: $v$

Угол с перпендикуляром к стенке: $\alpha$

Соударение: упругое

Все данные представлены в общем виде, перевод в СИ не требуется.

Найти:

Импульс, сообщаемый стенке, $\Delta \vec{p}_{стенки}$ (величину и направление).

Решение:

Импульс, который молекула сообщает стенке, по закону сохранения импульса (и по третьему закону Ньютона) равен по модулю и противоположен по направлению изменению импульса самой молекулы:

$\Delta \vec{p}_{стенки} = - \Delta \vec{p}_{молекулы}$

Изменение импульса молекулы равно разности её конечного и начального импульсов:

$\Delta \vec{p}_{молекулы} = \vec{p}_{2} - \vec{p}_{1} = m\vec{v}_{2} - m\vec{v}_{1}$

Для решения задачи введём систему координат. Направим ось $Ox$ перпендикулярно стенке (по нормали к ней) в сторону от стенки, а ось $Oy$ — параллельно стенке.

Вектор начальной скорости молекулы $\vec{v}_{1}$ составляет угол $\alpha$ с осью $Ox$. Его проекции на оси координат будут:

$v_{1x} = -v \cos\alpha$ (знак "минус", так как молекула движется к стенке, против оси $Ox$)

$v_{1y} = v \sin\alpha$

Соответственно, проекции начального импульса молекулы:

$p_{1x} = -mv \cos\alpha$

$p_{1y} = mv \sin\alpha$

Поскольку удар упругий, кинетическая энергия молекулы сохраняется, а значит, модуль её скорости не изменяется ($|\vec{v}_{1}| = |\vec{v}_{2}| = v$). При упругом ударе о неподвижную массивную стенку составляющая скорости, параллельная стенке ($v_y$), не меняется, а составляющая, перпендикулярная стенке ($v_x$), меняет свой знак на противоположный.

Проекции конечной скорости $\vec{v}_{2}$ на оси координат:

$v_{2x} = v \cos\alpha$

$v_{2y} = v \sin\alpha$

Проекции конечного импульса молекулы:

$p_{2x} = mv \cos\alpha$

$p_{2y} = mv \sin\alpha$

Теперь найдем проекции вектора изменения импульса молекулы:

$\Delta p_{молекулы, x} = p_{2x} - p_{1x} = mv \cos\alpha - (-mv \cos\alpha) = 2mv \cos\alpha$

$\Delta p_{молекулы, y} = p_{2y} - p_{1y} = mv \sin\alpha - mv \sin\alpha = 0$

Таким образом, вектор изменения импульса молекулы $\Delta \vec{p}_{молекулы}$ направлен вдоль оси $Ox$, то есть перпендикулярно стенке, от неё. Его модуль равен $2mv \cos\alpha$.

Импульс, сообщенный стенке, $\Delta \vec{p}_{стенки}$, направлен в противоположную сторону, то есть против оси $Ox$ (вглубь стенки), а его модуль равен модулю изменения импульса молекулы:

$|\Delta \vec{p}_{стенки}| = |\Delta \vec{p}_{молекулы}| = 2mv \cos\alpha$

Ответ:

Молекула сообщает стенке импульс, равный по модулю $2mv \cos\alpha$ и направленный перпендикулярно поверхности стенки в сторону стенки.