Номер 3, страница 135 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Вопросы. Параграф 30. Потенциальная энергия тела при гравитационном и упругом взаимодействиях. 4. Законы сохранения. Механика - номер 3, страница 135.

Условие.

3. Докажите, что сила упругости является потенциальной силой.

Решение.

3. Решение

Сила называется потенциальной (или консервативной), если ее работа при перемещении тела по любой замкнутой траектории равна нулю. Эквивалентное определение гласит, что работа потенциальной силы не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положением тела. Докажем, что сила упругости удовлетворяет этому определению.

Сила упругости подчиняется закону Гука. В проекции на ось $Ox$, вдоль которой происходит деформация (например, пружины), она выражается формулой:

$F_{упр, x} = -kx$

где $k$ — коэффициент жесткости, а $x$ — удлинение (смещение из положения равновесия).

Работа, совершаемая силой при перемещении тела, по определению равна интегралу от силы по перемещению. Найдем работу $A_{1 \to 2}$ силы упругости при перемещении тела из точки с координатой $x_1$ в точку с координатой $x_2$:

$A_{1 \to 2} = \int_{x_1}^{x_2} F_{упр, x} dx = \int_{x_1}^{x_2} (-kx) dx$

Вычислим данный интеграл:

$A_{1 \to 2} = -k \int_{x_1}^{x_2} x dx = -k \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{x_1}^{x_2} = -k \left( \frac{x_2^2}{2} - \frac{x_1^2}{2} \right) = \frac{kx_1^2}{2} - \frac{kx_2^2}{2}$

Как видно из полученного результата, работа силы упругости зависит только от начальной ($x_1$) и конечной ($x_2$) координат тела и не зависит от того, как именно тело двигалось между этими точками. Это уже является доказательством того, что сила упругости потенциальна.

Для завершения доказательства по первому определению рассмотрим замкнутую траекторию, например, из точки $x_1$ в точку $x_2$ и обратно в $x_1$. Работа на обратном пути из $x_2$ в $x_1$ будет равна:

$A_{2 \to 1} = \int_{x_2}^{x_1} (-kx) dx = -k \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{x_2}^{x_1} = -k \left( \frac{x_1^2}{2} - \frac{x_2^2}{2} \right) = \frac{kx_2^2}{2} - \frac{kx_1^2}{2}$

Полная работа на замкнутой траектории $1 \to 2 \to 1$ равна сумме работ на отдельных участках:

$A_{замкн.} = A_{1 \to 2} + A_{2 \to 1} = \left(\frac{kx_1^2}{2} - \frac{kx_2^2}{2}\right) + \left(\frac{kx_2^2}{2} - \frac{kx_1^2}{2}\right) = 0$

Так как работа силы упругости по произвольному замкнутому пути равна нулю, то сила упругости является потенциальной. С потенциальными силами связывают понятие потенциальной энергии. Для силы упругости она равна $E_п = \frac{kx^2}{2}$.

Ответ: Сила упругости является потенциальной, так как ее работа при перемещении тела между двумя точками не зависит от формы траектории, а зависит только от начального и конечного положений. Эквивалентно, работа силы упругости по любому замкнутому контуру равна нулю, что и было показано в решении.