Номер 3, страница 135 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 4. Законы сохранения. Параграф 30. Потенциальная энергия тела при гравитационном и упругом взаимодействиях. Задачи - номер 3, страница 135.

Условие.

3. При растяжении пружины на 2 см совершена работа 1 Дж. Какую работу следует совершить, чтобы растянуть пружину ещё на 2 см?

Решение.

Дано:

$x_1 = 2 \text{ см}$
$A_1 = 1 \text{ Дж}$
$\Delta x = 2 \text{ см}$

$x_1 = 2 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0.02 \text{ м}$
$\Delta x = 2 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

$A_{add}$ — работа для дополнительного растяжения.

Решение:

Работа, совершаемая при растяжении пружины, равна ее потенциальной энергии упругой деформации. Эта энергия вычисляется по формуле:

$A = E_p = \frac{kx^2}{2}$

где $k$ — жесткость пружины, а $x$ — ее удлинение от положения равновесия.

Работа $A_1$, совершенная при растяжении пружины на начальное удлинение $x_1$, равна:

$A_1 = \frac{kx_1^2}{2} = 1 \text{ Дж}$

Чтобы растянуть пружину еще на $\Delta x = 2 \text{ см}$, необходимо увеличить ее общее удлинение до величины $x_2 = x_1 + \Delta x = 2 \text{ см} + 2 \text{ см} = 4 \text{ см}$.

Полная работа $A_2$, необходимая для растяжения пружины от недеформированного состояния на величину $x_2$, составляет:

$A_2 = \frac{kx_2^2}{2}$

Работа $A_{add}$, которую необходимо совершить для дополнительного растяжения пружины (от удлинения $x_1$ до $x_2$), равна разности полной работы $A_2$ и уже совершенной работы $A_1$:

$A_{add} = A_2 - A_1$

Найдем соотношение между работами $A_2$ и $A_1$. Учитывая, что $x_2 = 4 \text{ см} = 2 \cdot (2 \text{ см}) = 2x_1$:

$A_2 = \frac{k(2x_1)^2}{2} = \frac{k \cdot 4x_1^2}{2} = 4 \cdot \left(\frac{kx_1^2}{2}\right)$

Поскольку из условия известно, что $\frac{kx_1^2}{2} = A_1$, то:

$A_2 = 4A_1$

Подставим числовые значения:

$A_2 = 4 \cdot 1 \text{ Дж} = 4 \text{ Дж}$

Теперь найдем искомую дополнительную работу $A_{add}$:

$A_{add} = A_2 - A_1 = 4 \text{ Дж} - 1 \text{ Дж} = 3 \text{ Дж}$

Ответ: чтобы растянуть пружину еще на 2 см, следует совершить работу 3 Дж.