Номер 5, страница 138 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Вопросы. Параграф 31. Кинетическая энергия. 4. Законы сохранения. Механика - номер 5, страница 138.

Условие.

5. В каком случае требуется большая энергия — при запуске спутника вдоль меридиана или вдоль экватора (в сторону вращения Земли)?

Решение.

Для вывода спутника на орбиту ему необходимо сообщить определённую скорость (первую космическую скорость, $v_{орб}$), которая позволит ему двигаться по круговой орбите вокруг Земли. Энергия, затрачиваемая на запуск, в основном преобразуется в кинетическую энергию спутника $E_k = \frac{1}{2}m v^2$. Величина необходимой энергии зависит от того, какую скорость ракета-носитель должна сообщить спутнику.

Ключевым фактором в данной задаче является вращение Земли вокруг своей оси. Любой объект на поверхности Земли уже обладает линейной скоростью $v_{земли}$ из-за этого вращения. Эта скорость направлена с запада на восток, параллельно экватору, и её величина максимальна на экваторе (около 465 м/с) и убывает до нуля на полюсах. Эту начальную скорость можно использовать для уменьшения затрат энергии на запуск.

Рассмотрим оба варианта запуска.

Запуск спутника вдоль экватора (в сторону вращения Земли)

При запуске спутника с экватора в восточном направлении его начальная скорость $v_{земли}$ совпадает по направлению с требуемой орбитальной скоростью $v_{орб}$. Таким образом, вращение Земли "помогает" разогнать спутник. Скорость $\Delta v_1$, которую должна сообщить ракета, будет меньше орбитальной скорости на величину скорости вращения Земли:

$\Delta v_1 = v_{орб} - v_{земли}$

Энергия, которую необходимо затратить, пропорциональна квадрату этой скорости: $E_1 \sim (v_{орб} - v_{земли})^2$.

Запуск спутника вдоль меридиана

При запуске спутника на полярную орбиту (вдоль меридиана, например, на север) его требуемая орбитальная скорость $v_{орб}$ будет направлена перпендикулярно начальной скорости $v_{земли}$, которая направлена на восток. В этом случае вращение Земли не помогает достичь нужной скорости в северном направлении. Более того, чтобы орбита была строго полярной, восточную составляющую скорости нужно погасить. Ракета-носитель должна сообщить спутнику скорость $\Delta v_2$, которая является векторной разностью конечной орбитальной и начальной скорости от вращения Земли: $\vec{\Delta v_2} = \vec{v}_{орб} - \vec{v}_{земли}$.

Поскольку векторы $\vec{v}_{орб}$ (на север) и $\vec{v}_{земли}$ (на восток) перпендикулярны, модуль необходимого изменения скорости находится по теореме Пифагора:

$|\Delta v_2| = \sqrt{v_{орб}^2 + v_{земли}^2}$

Энергия, которую необходимо затратить, пропорциональна квадрату этой величины: $E_2 \sim v_{орб}^2 + v_{земли}^2$.

Сравнивая затраты энергии в обоих случаях, очевидно, что $E_2 > E_1$, так как $v_{орб}^2 + v_{земли}^2 > (v_{орб} - v_{земли})^2$. Поэтому запуск вдоль меридиана является более энергозатратным.

Ответ: Большая энергия требуется при запуске спутника вдоль меридиана.