Номер 2, страница 135 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 4. Законы сохранения. Параграф 30. Потенциальная энергия тела при гравитационном и упругом взаимодействиях. Задачи - номер 2, страница 135.

Условие.

2. Ракета поднимает спутник сначала на высоту $h = R_{\oplus}$ над поверхностью Земли, а затем запускает его на круговую орбиту на этой высоте. Найдите отношение работ на поднятие $A_1$ и на запуск $A_2$ спутника.

Решение.

Дано:

Высота подъема спутника: $h = R_⊕$, где $R_⊕$ — радиус Земли.

Работа на поднятие спутника: $A_1$.

Работа на запуск спутника на круговую орбиту: $A_2$.

Найти:

Отношение работ $\frac{A_1}{A_2}$.

Решение:

Работа $A_1$, совершаемая для поднятия спутника с поверхности Земли на высоту $h$, равна изменению его потенциальной энергии в гравитационном поле Земли. Потенциальная энергия тела массой $m$ на расстоянии $r$ от центра Земли (массой $M_⊕$) вычисляется по формуле:

$E_p = -G \frac{M_⊕ m}{r}$

где $G$ — гравитационная постоянная.

Начальная потенциальная энергия спутника на поверхности Земли (при $r_1 = R_⊕$):

$E_{p1} = -G \frac{M_⊕ m}{R_⊕}$

Конечная потенциальная энергия спутника на высоте $h = R_⊕$ над поверхностью (т.е. на расстоянии $r_2 = R_⊕ + h = 2R_⊕$ от центра Земли):

$E_{p2} = -G \frac{M_⊕ m}{2R_⊕}$

Тогда работа на поднятие $A_1$ равна:

$A_1 = E_{p2} - E_{p1} = \left(-G \frac{M_⊕ m}{2R_⊕}\right) - \left(-G \frac{M_⊕ m}{R_⊕}\right) = G \frac{M_⊕ m}{R_⊕} \left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} G \frac{M_⊕ m}{R_⊕}$

Работа $A_2$ на запуск спутника на круговую орбиту на высоте $h$ равна кинетической энергии, которую необходимо сообщить спутнику, чтобы он двигался с необходимой орбитальной скоростью $v$.

$A_2 = E_k = \frac{mv^2}{2}$

Для движения по круговой орбите радиусом $r_2 = 2R_⊕$, сила всемирного тяготения выполняет роль центростремительной силы. Согласно второму закону Ньютона:

$F_г = F_ц$

$G \frac{M_⊕ m}{r_2^2} = \frac{mv^2}{r_2}$

$G \frac{M_⊕ m}{(2R_⊕)^2} = \frac{mv^2}{2R_⊕}$

Отсюда можно выразить квадрат орбитальной скорости $v^2$:

$v^2 = G \frac{M_⊕}{2R_⊕}$

Теперь подставим это выражение в формулу для работы $A_2$:

$A_2 = \frac{m}{2} \left(G \frac{M_⊕}{2R_⊕}\right) = \frac{1}{4} G \frac{M_⊕ m}{R_⊕}$

Наконец, найдем отношение работ $A_1$ и $A_2$:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{\frac{1}{2} G \frac{M_⊕ m}{R_⊕}}{\frac{1}{4} G \frac{M_⊕ m}{R_⊕}} = \frac{1/2}{1/4} = 2$

Ответ: 2.