Номер 1, страница 135 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Задачи. Параграф 30. Потенциальная энергия тела при гравитационном и упругом взаимодействиях. 4. Законы сохранения. Механика - номер 1, страница 135.

Условие.

1. Почему движение планет и спутников по эллиптической орбите не может происходить с постоянной по модулю скоростью?

Решение.

1. Движение планет и спутников по эллиптической орбите не может происходить с постоянной по модулю скоростью из-за закона сохранения полной механической энергии и закона сохранения момента импульса (что эквивалентно второму закону Кеплера).

Рассмотрим движение тела (планеты или спутника) массой $m$ вокруг центрального тела (звезды или планеты) массой $M$. В системе, где действует только консервативная сила гравитации, полная механическая энергия сохраняется. Полная механическая энергия $E$ является суммой кинетической энергии $K$ и потенциальной энергии $U$.

Кинетическая энергия тела: $K = \frac{1}{2}mv^2$, где $v$ — модуль скорости тела.

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия: $U = -\frac{GMm}{r}$, где $r$ — расстояние между центрами масс тел, а $G$ — гравитационная постоянная.

Согласно закону сохранения энергии, их сумма постоянна:

$E = K + U = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r} = \text{const}$

Эллиптическая орбита по определению является траекторией, где расстояние $r$ от движущегося тела до центрального тела постоянно меняется. Оно минимально в перицентре (для Земли — перигей) и максимально в апоцентре (для Земли — апогей).

Из формулы сохранения энергии выразим квадрат скорости:

$v^2 = 2(\frac{E}{m} + \frac{GM}{r})$

Поскольку в этой формуле все величины, кроме расстояния $r$, являются константами, скорость $v$ напрямую зависит от $r$.

Когда спутник приближается к центральному телу, расстояние $r$ уменьшается. Это приводит к тому, что потенциальная энергия $U$ (которая отрицательна) также уменьшается (становится более отрицательной). Чтобы полная энергия $E$ оставалась постоянной, кинетическая энергия $K$ должна увеличиваться. Увеличение кинетической энергии означает увеличение модуля скорости $v$.

Наоборот, когда спутник удаляется от центрального тела, расстояние $r$ увеличивается. Потенциальная энергия $U$ увеличивается (становится менее отрицательной). Для сохранения полной энергии $E$ кинетическая энергия $K$ должна уменьшаться, что приводит к уменьшению модуля скорости $v$.

Таким образом, скорость максимальна в ближайшей к центральному телу точке орбиты и минимальна в самой дальней. Постоянной по модулю скорость может быть только в частном случае эллипса — окружности, где расстояние $r$ не меняется.

Этот вывод также соответствует второму закону Кеплера, который гласит, что радиус-вектор, соединяющий планету и центральное тело, за равные промежутки времени описывает равные площади. Чтобы это условие выполнялось, планета должна двигаться быстрее, когда она ближе к центральному телу, и медленнее, когда она дальше от него.

Ответ: Движение по эллиптической орбите происходит с переменным расстоянием до центрального тела. Согласно закону сохранения энергии, изменение потенциальной энергии гравитационного взаимодействия должно компенсироваться изменением кинетической энергии. Следовательно, при изменении расстояния до центрального тела меняется и скорость движения планеты или спутника: она максимальна в ближайшей точке орбиты и минимальна в самой дальней.