Номер 2, страница 259 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Молекулярная физика. 9. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа. Параграф 53. Уравнение Клапейрона—Менделеева. Задачи - номер 2, страница 259.

Условие.

2. Давление газа в люминесцентной лампе $10^3$ Па, а его температура $42 \text{ }^{\circ}\text{С}$. Определите концентрацию атомов в лампе. Оцените среднее расстояние между атомами.

Решение.

Дано:

Давление газа, $p = 10^3$ Па

Температура газа, $t = 42$ °C

Постоянная Больцмана, $k \approx 1,38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К

Перевод в систему СИ:

Абсолютная температура, $T = t + 273 = 42 + 273 = 315$ К

Найти:

Концентрацию атомов $n$

Среднее расстояние между атомами $d$

Решение:

Определите концентрацию атомов в лампе

Для определения концентрации атомов газа воспользуемся основным уравнением молекулярно-кинетической теории для идеального газа, которое связывает давление, концентрацию и температуру:

$p = nkT$

где $p$ – давление газа, $n$ – концентрация атомов, $k$ – постоянная Больцмана, $T$ – абсолютная температура.

Выразим из этой формулы концентрацию $n$:

$n = \frac{p}{kT}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$n = \frac{10^3 \text{ Па}}{1,38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К} \cdot 315 \text{ К}} = \frac{10^3}{434,7 \cdot 10^{-23}} \approx 0,0023 \cdot 10^{26} \text{ м}^{-3} = 2,3 \cdot 10^{23} \text{ м}^{-3}$

Ответ: Концентрация атомов в лампе составляет приблизительно $2,3 \cdot 10^{23} \text{ м}^{-3}$.

Оцените среднее расстояние между атомами

Чтобы оценить среднее расстояние между атомами, можно предположить, что каждый атом занимает некоторый средний объем $V_0$. В таком случае концентрация $n$ будет обратной величиной этому объему: $n = 1/V_0$.

Если представить этот объем в виде куба со стороной $d$, то $V_0 = d^3$. Тогда среднее расстояние между атомами $d$ можно найти как корень кубический из объема $V_0$.

$d = \sqrt[3]{V_0} = \sqrt[3]{\frac{1}{n}} = n^{-1/3}$

Подставим ранее найденное значение концентрации:

$d = (2,3 \cdot 10^{23} \text{ м}^{-3})^{-1/3} = \sqrt[3]{\frac{1}{2,3 \cdot 10^{23}}} \text{ м} \approx \sqrt[3]{0,435 \cdot 10^{-23}} \text{ м}$

Для удобства извлечения корня представим число в виде $4,35 \cdot 10^{-24}$:

$d = \sqrt[3]{4,35 \cdot 10^{-24}} \text{ м} = \sqrt[3]{4,35} \cdot \sqrt[3]{10^{-24}} \text{ м} \approx 1,63 \cdot 10^{-8} \text{ м}$

Это расстояние также можно выразить в нанометрах: $1,63 \cdot 10^{-8} \text{ м} = 16,3 \text{ нм}$.

Ответ: Среднее расстояние между атомами составляет приблизительно $1,63 \cdot 10^{-8} \text{ м}$ или $16,3 \text{ нм}$.