Вариант 1, страница 78 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

СР-23. Кристаллизация и плавление твердых тел. Механические свойства твердых тел. Самостоятельные работы - страница 78.

Условие.

СР-23. Кристаллизация и плавление твердых тел. Механические свойства твердых тел

Вариант 1

1. Кусок льда массой $4 \, \text{кг}$ при температуре $-20°C$ опустили в воду, имеющую температуру $80°C$. Масса воды $10 \, \text{кг}$. Какую температуру будет иметь вода, когда весь лед растает? Удельная теплоемкость воды равна $4200 \, \text{Дж}/(\text{кг} \cdot ^\circ \text{C})$, удельная теплоемкость льда — $2100 \, \text{Дж}/(\text{кг} \cdot ^\circ \text{C})$, удельная теплота плавления льда — $340 \, \text{кДж}/\text{кг}$.

2. Какого диаметра должен быть стальной стержень для крюка подъемного крана с грузоподъемностью $80 \, \text{кН}$ при восьмикратном запасе прочности? Разрушающее напряжение материала стержня равно $600 \, \text{Н}/\text{мм}^2$.

Решение.

1. Кусок льда массой 4 кг при температуре –20 °С опустили в воду, имеющую температуру 80 °С. Масса воды 10 кг. Какую температуру будет иметь вода, когда весь лед растает? Удельная теплоемкость воды равна 4200 Дж/(кг·°С), удельная теплоемкость льда — 2100 Дж/(кг·°С), удельная теплота плавления льда — 340 кДж/кг.

Дано:

Масса льда $m_л = 4 \, кг$
Начальная температура льда $t_л = -20 \, °С$
Масса воды $m_в = 10 \, кг$
Начальная температура воды $t_в = 80 \, °С$
Удельная теплоемкость воды $c_в = 4200 \, \frac{Дж}{кг \cdot °С}$
Удельная теплоемкость льда $c_л = 2100 \, \frac{Дж}{кг \cdot °С}$
Удельная теплота плавления льда $\lambda = 340 \, \frac{кДж}{кг}$

$\lambda = 340 \cdot 10^3 \, \frac{Дж}{кг}$

Найти:

Конечную температуру смеси $t_к$.

Решение:

В изолированной системе количество теплоты, отданное горячей водой, равно количеству теплоты, полученному льдом. Лед сначала нагревается до температуры плавления (0 °С), затем плавится, и образовавшаяся из него вода нагревается до конечной температуры.

1. Количество теплоты, необходимое для нагревания льда от $-20 \, °С$ до $0 \, °С$:

$Q_1 = c_л \cdot m_л \cdot (0 - t_л) = 2100 \cdot 4 \cdot (0 - (-20)) = 168000 \, Дж$.

2. Количество теплоты, необходимое для плавления всего льда:

$Q_2 = \lambda \cdot m_л = 340000 \cdot 4 = 1360000 \, Дж$.

3. Количество теплоты, необходимое для нагревания воды, получившейся изо льда, от $0 \, °С$ до конечной температуры $t_к$:

$Q_3 = c_в \cdot m_л \cdot (t_к - 0) = 4200 \cdot 4 \cdot t_к = 16800 \cdot t_к$.

4. Количество теплоты, отданное горячей водой при остывании от $80 \, °С$ до конечной температуры $t_к$:

$Q_{отд} = c_в \cdot m_в \cdot (t_в - t_к) = 4200 \cdot 10 \cdot (80 - t_к) = 42000 \cdot (80 - t_к)$.

Составим уравнение теплового баланса: $Q_1 + Q_2 + Q_3 = Q_{отд}$.

$168000 + 1360000 + 16800 \cdot t_к = 42000 \cdot (80 - t_к)$

$1528000 + 16800 \cdot t_к = 3360000 - 42000 \cdot t_к$

$16800 \cdot t_к + 42000 \cdot t_к = 3360000 - 1528000$

$58800 \cdot t_к = 1832000$

$t_к = \frac{1832000}{58800} \approx 31.156 \, °С$

Округляя до десятых, получаем $t_к \approx 31.2 \, °С$.

Ответ: $31.2 \, °С$.

2. Какого диаметра должен быть стальной стержень для крюка подъемного крана с грузоподъемностью 80 кН при восьмикратном запасе прочности? Разрушающее напряжение материала стержня равно 600 Н/мм².

Дано:

Грузоподъемность (сила) $F = 80 \, кН$
Запас прочности $n = 8$
Разрушающее напряжение $\sigma_{разр} = 600 \, Н/мм^2$

$F = 80 \cdot 10^3 \, Н$
$\sigma_{разр} = 600 \cdot 10^6 \, Па$

Найти:

Диаметр стержня $\text{d}$.

Решение:

Допускаемое напряжение $\sigma_{доп}$ связано с разрушающим напряжением $\sigma_{разр}$ через запас прочности $\text{n}$:

$\sigma_{доп} = \frac{\sigma_{разр}}{n}$

Механическое напряжение в стержне определяется как отношение приложенной силы $\text{F}$ к площади поперечного сечения $\text{S}$:

$\sigma = \frac{F}{S}$

Для безопасной работы, напряжение в стержне не должно превышать допускаемое: $\sigma \le \sigma_{доп}$. В предельном случае:

$\frac{F}{S} = \sigma_{доп} = \frac{\sigma_{разр}}{n}$

Площадь поперечного сечения круглого стержня с диаметром $\text{d}$ равна:

$S = \frac{\pi d^2}{4}$

Подставим выражение для площади в уравнение:

$\frac{F}{\frac{\pi d^2}{4}} = \frac{\sigma_{разр}}{n}$

$\frac{4F}{\pi d^2} = \frac{\sigma_{разр}}{n}$

Выразим из формулы диаметр $\text{d}$:

$d^2 = \frac{4Fn}{\pi \sigma_{разр}}$

$d = \sqrt{\frac{4Fn}{\pi \sigma_{разр}}}$

Подставим числовые значения. Для удобства расчетов будем использовать силу в Ньютонах (Н) и напряжение в Н/мм², тогда диаметр будет получен в миллиметрах (мм).

$d = \sqrt{\frac{4 \cdot (80 \cdot 10^3 \, Н) \cdot 8}{\pi \cdot 600 \, Н/мм^2}} = \sqrt{\frac{2560000}{\pi \cdot 600}} \, мм = \sqrt{\frac{12800}{3\pi}} \, мм \approx \sqrt{1358.1} \, мм \approx 36.85 \, мм$.

Полученное значение диаметра следует округлить в большую сторону до ближайшего стандартного значения, или до целого числа для обеспечения надежности.

$d \approx 37 \, мм$

Ответ: $37 \, мм$.