Вариант 3, страница 77 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

СР-22. Поверхностное натяжение. Смачивание, капиллярность. Самостоятельные работы - страница 77.

Условие.

Вариант 3

1. Рассчитайте коэффициент поверхностного натяжения масла, если при пропускании через пипетку $3,6 \text{ г}$ масла получено $304$ капли. Диаметр шейки пипетки равен $1,2 \text{ мм}$.

2. Каким должен быть диаметр капиллярной трубки, чтобы вода поднималась в ней на $1 \text{ мм}$? Коэффициент поверхностного натяжения воды равен $73 \text{ мН/м}$.

Решение.

1. Дано

$M = 3,6 \text{ г} = 3,6 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$
$N = 304$
$d = 1,2 \text{ мм} = 1,2 \cdot 10^{-3} \text{ м}$
$g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Найти:

$\sigma$ — коэффициент поверхностного натяжения масла.

Решение

В момент отрыва капли ее вес уравновешивается силой поверхностного натяжения, действующей по периметру шейки пипетки.

Вес одной капли $P_1$ можно найти, разделив общий вес масла на количество капель:

$P_1 = m_1 g = \frac{M}{N}g$

где $m_1$ – масса одной капли, $\text{M}$ – общая масса масла, $\text{N}$ – число капель, $\text{g}$ – ускорение свободного падения.

Сила поверхностного натяжения $F_σ$ определяется по формуле:

$F_\sigma = \sigma L$

где $\sigma$ – коэффициент поверхностного натяжения, а $\text{L}$ – длина границы, по которой действует сила. В данном случае это длина окружности шейки пипетки: $L = \pi d$.

Приравнивая вес капли и силу поверхностного натяжения:

$P_1 = F_\sigma$

$\frac{Mg}{N} = \sigma \pi d$

Выразим из этой формулы коэффициент поверхностного натяжения $\sigma$:

$\sigma = \frac{Mg}{N \pi d}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$\sigma = \frac{3,6 \cdot 10^{-3} \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}{304 \cdot \pi \cdot 1,2 \cdot 10^{-3} \text{ м}} \approx \frac{0,03528}{304 \cdot 3,14 \cdot 1,2 \cdot 10^{-3}} \approx \frac{0,03528}{1145,4} \approx 0,0308 \text{ Н/м}$

Ответ: Коэффициент поверхностного натяжения масла равен приблизительно $0,031$ Н/м (или $31$ мН/м).

2. Дано

$h = 1 \text{ мм} = 1 \cdot 10^{-3} \text{ м}$
$\sigma = 73 \text{ мН/м} = 73 \cdot 10^{-3} \text{ Н/м}$
$\rho_{воды} \approx 1000 \text{ кг/м}^3$
$g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Найти:

$\text{d}$ — диаметр капиллярной трубки.

Решение

Высота подъема жидкости в капилляре определяется по формуле Жюрена:

$h = \frac{2\sigma \cos\theta}{\rho g r}$

где $\text{h}$ – высота подъема жидкости, $\sigma$ – коэффициент поверхностного натяжения, $\theta$ – краевой угол смачивания, $\rho$ – плотность жидкости, $\text{g}$ – ускорение свободного падения, $\text{r}$ – радиус капилляра.

Для воды и стеклянной трубки можно считать смачивание полным, поэтому краевой угол $\theta \approx 0$, и $\cos\theta \approx 1$. Радиус связан с диаметром соотношением $r = d/2$.

Подставим эти значения в формулу:

$h = \frac{2\sigma}{\rho g (d/2)} = \frac{4\sigma}{\rho g d}$

Выразим из формулы диаметр $\text{d}$:

$d = \frac{4\sigma}{\rho g h}$

Подставим числовые значения:

$d = \frac{4 \cdot 73 \cdot 10^{-3} \text{ Н/м}}{1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 1 \cdot 10^{-3} \text{ м}} = \frac{292 \cdot 10^{-3}}{9,8} \approx 29,8 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Переведем результат в миллиметры:

$d \approx 29,8 \text{ мм}$

Ответ: Диаметр капиллярной трубки должен быть равен приблизительно $29,8$ мм.