Вариант 2, страница 77 - гдз по физике 10 класс дидактические материалы Марон, Марон

СР-22. Поверхностное натяжение. Смачивание, капиллярность. Самостоятельные работы - страница 77.

Условие.

Вариант 3

1. Коэффициент поверхностного натяжения керосина равен $24\text{ мН/м}$. Какую работу совершат силы поверхностного натяжения, если поверхностный слой керосина уменьшится на $20\text{ см}^2$?

2. Найдите коэффициент поверхностного натяжения воды, если в капилляре диаметром $1\text{ мм}$ она поднимается на высоту $32,6\text{ мм}$.

Решение.

1. Коэффициент поверхностного натяжения керосина равен 24 мН/м. Какую работу совершат силы поверхностного натяжения, если поверхностный слой керосина уменьшится на 20 см²?

Дано:

Коэффициент поверхностного натяжения керосина: $ \sigma = 24 \text{ мН/м} $
Уменьшение площади поверхности: $ |\Delta S| = 20 \text{ см}^2 $

$ \sigma = 24 \times 10^{-3} \text{ Н/м} $
$ |\Delta S| = 20 \text{ см}^2 = 20 \times (10^{-2} \text{ м})^2 = 20 \times 10^{-4} \text{ м}^2 = 2 \times 10^{-3} \text{ м}^2 $

Найти:

Работу сил поверхностного натяжения, $ A $.

Решение:

Работа, совершаемая силами поверхностного натяжения, связана с изменением поверхностной энергии жидкости. Поверхностная энергия определяется выражением $ E = \sigma S $, где $ \sigma $ — коэффициент поверхностного натяжения, а $ S $ — площадь поверхности.

Работа, совершаемая силами поверхностного натяжения, равна изменению поверхностной энергии, взятому с обратным знаком: $ A = -\Delta E = -(E_{кон} - E_{нач}) = -\sigma (S_{кон} - S_{нач}) = -\sigma \Delta S $.

Поскольку поверхность уменьшается, изменение площади $ \Delta S = S_{кон} - S_{нач} $ является отрицательной величиной: $ \Delta S = -2 \times 10^{-3} \text{ м}^2 $. Силы поверхностного натяжения стремятся сократить площадь поверхности, поэтому при ее уменьшении они совершают положительную работу.

Подставим числовые значения в систему СИ:

$ A = -(24 \times 10^{-3} \text{ Н/м}) \cdot (-2 \times 10^{-3} \text{ м}^2) = 48 \times 10^{-6} \text{ Дж} $.

Эту величину можно также записать как $ 48 \text{ мкДж} $.

Ответ: $ 48 \cdot 10^{-6} \text{ Дж} $.

2. Найдите коэффициент поверхностного натяжения воды, если в капилляре диаметром 1 мм она поднимается на высоту 32,6 мм.

Дано:

Диаметр капилляра: $ d = 1 \text{ мм} $
Высота подъема воды: $ h = 32,6 \text{ мм} $
Плотность воды (табличное значение): $ \rho \approx 1000 \text{ кг/м}^3 $
Ускорение свободного падения: $ g \approx 9,8 \text{ м/с}^2 $
Краевой угол для воды на стекле (при полном смачивании): $ \theta = 0^\circ $

$ d = 1 \times 10^{-3} \text{ м} \implies r = \frac{d}{2} = 0,5 \times 10^{-3} \text{ м} $
$ h = 32,6 \times 10^{-3} \text{ м} $

Найти:

Коэффициент поверхностного натяжения воды, $ \sigma $.

Решение:

Подъем жидкости в капилляре происходит за счет сил поверхностного натяжения. Жидкость поднимается до тех пор, пока сила поверхностного натяжения, действующая вертикально вверх по периметру смачивания, не уравновесится силой тяжести столба поднявшейся жидкости.

Сила поверхностного натяжения, действующая вдоль границы мениска: $ F_{\sigma} = \sigma L $, где $ L = 2\pi r $ — длина периметра смачивания. Вертикальная составляющая этой силы равна $ F_{\sigma, y} = F_{\sigma} \cos\theta = \sigma \cdot 2\pi r \cdot \cos\theta $.

Сила тяжести столба жидкости: $ F_{т} = mg = \rho V g $. Объем столба жидкости (пренебрегая кривизной мениска) можно считать объемом цилиндра: $ V = \pi r^2 h $. Тогда $ F_{т} = \rho \pi r^2 h g $.

В состоянии равновесия силы уравновешены: $ F_{\sigma, y} = F_{т} $.

$ \sigma \cdot 2\pi r \cdot \cos\theta = \rho \pi r^2 h g $.

Для случая полного смачивания воды на чистом стекле краевой угол $ \theta \approx 0^\circ $, следовательно, $ \cos\theta \approx 1 $. Уравнение принимает вид:

$ \sigma \cdot 2\pi r = \rho \pi r^2 h g $.

Выразим из этой формулы искомый коэффициент поверхностного натяжения $ \sigma $:

$ \sigma = \frac{\rho \pi r^2 h g}{2\pi r} = \frac{\rho g h r}{2} $.

Подставим числовые значения в СИ:

$ \sigma = \frac{(1000 \text{ кг/м}^3) \cdot (9,8 \text{ м/с}^2) \cdot (32,6 \times 10^{-3} \text{ м}) \cdot (0,5 \times 10^{-3} \text{ м})}{2} $

$ \sigma = \frac{159,74 \times 10^{-3}}{2} \text{ Н/м} \approx 79,87 \times 10^{-3} \text{ Н/м} $.

Округляя результат до трех значащих цифр (согласно данным задачи), получаем:

$ \sigma \approx 79,9 \times 10^{-3} \text{ Н/м} $, или $ 79,9 \text{ мН/м} $.

Ответ: $ \approx 79,9 \cdot 10^{-3} \text{ Н/м} $.