Номер 1, страница 232 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Динамика. Глава 3. Силы в механике. Параграф 3.7. Движение искусственных спутников. Расчёт первой космической скорости - номер 1, страница 232.

Условие.

? Спутник обращается по круговой орбите на небольшой высоте над планетой. Покажите, что для определения средней плотности планеты достаточно знать период обращения спутника.

Решение.

Дано:

Спутник движется по круговой орбите.

$h$ - высота орбиты спутника над планетой.

$R$ - радиус планеты.

Высота орбиты небольшая, то есть $h \ll R$.

$T$ - период обращения спутника.

Найти:

Показать, что для определения средней плотности планеты $\rho$ достаточно знать только период обращения $T$.

Решение:

На спутник массой $m$, движущийся по круговой орбите радиусом $r$ вокруг планеты массой $M$, действует сила всемирного тяготения. Эта сила является центростремительной и, согласно второму закону Ньютона, равна произведению массы спутника на его центростремительное ускорение $a_{цс}$:

$F_{тяг} = F_{цс}$

$\frac{G M m}{r^2} = m a_{цс}$

где $G$ — гравитационная постоянная.

Центростремительное ускорение спутника, движущегося по окружности с периодом $T$, выражается формулой:

$a_{цс} = \omega^2 r = (\frac{2\pi}{T})^2 r = \frac{4\pi^2 r}{T^2}$

Подставим выражение для ускорения в уравнение движения и сократим массу спутника $m$:

$\frac{G M}{r^2} = \frac{4\pi^2 r}{T^2}$

Из этого соотношения выразим массу планеты $M$ (этот результат является уточнением третьего закона Кеплера для круговой орбиты):

$M = \frac{4\pi^2 r^3}{G T^2}$

Средняя плотность планеты $\rho$ — это отношение её массы $M$ к её объёму $V$. Если считать планету идеальным шаром радиусом $R$, то её объём равен $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

$\rho = \frac{M}{V} = \frac{\frac{4\pi^2 r^3}{G T^2}}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{4\pi^2 r^3}{G T^2} \cdot \frac{3}{4\pi R^3} = \frac{3\pi r^3}{G T^2 R^3}$

Радиус орбиты спутника $r$ равен сумме радиуса планеты $R$ и высоты орбиты $h$: $r = R + h$. По условию задачи, высота орбиты "небольшая", что математически означает $h \ll R$. В этом случае можно считать, что радиус орбиты приблизительно равен радиусу планеты:

$r = R + h \approx R$

Подставим это приближение в полученную формулу для плотности:

$\rho \approx \frac{3\pi R^3}{G T^2 R^3}$

Сократив $R^3$ в числителе и знаменателе, получаем окончательное выражение для средней плотности планеты:

$\rho = \frac{3\pi}{G T^2}$

Как видно из полученной формулы, средняя плотность планеты $\rho$ зависит только от периода обращения спутника $T$ и фундаментальных констант — числа $\pi$ и гравитационной постоянной $G$. Следовательно, для вычисления средней плотности планеты достаточно знать только период обращения спутника, движущегося по низкой круговой орбите. Что и требовалось доказать.

Ответ:

Для спутника, обращающегося по низкой круговой орбите ($h \ll R$), средняя плотность планеты $\rho$ связана с периодом обращения $T$ соотношением $\rho = \frac{3\pi}{G T^2}$. Поскольку $G$ и $\pi$ являются фундаментальными константами, для определения $\rho$ достаточно знать только величину периода $T$.