Номер 7, страница 230 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Динамика. Глава 3. Силы в механике. Параграф 3.6. Сила тяжести. Центр тяжести - номер 7, страница 230.

Условие.

7. Каким образом определить центр тяжести человека?

Решение.

Центр тяжести (ЦТ) человека не является фиксированной точкой, поскольку тело человека не абсолютно твердое и имеет неоднородное распределение массы. Положение ЦТ зависит от позы, телосложения, возраста и пола. Определить положение центра тяжести можно несколькими способами, основными из которых являются экспериментальный и расчетный.

1. Экспериментальный метод (метод взвешивания)

Этот метод основан на принципе равновесия рычага (правиле моментов). Для его реализации потребуется длинная жесткая доска, опора (точка опоры) и напольные весы.

Порядок действий:
1. Измеряют массу человека ($m_{чел}$) и массу доски ($m_{доски}$).
2. Доску укладывают горизонтально так, чтобы один ее конец лежал на опоре, а другой — на площадке весов. Измеряют расстояние $L$ между точкой опоры и центром площадки весов.
3. Человек ложится на доску (например, ногами к опоре) и остается неподвижным. Записывают показания весов ($m_{весов}$).
4. Положение центра тяжести человека ($x$) относительно точки опоры находят из условия равновесия моментов сил. Момент, создаваемый весами, уравновешивает моменты, создаваемые силами тяжести человека и доски.

Условие равновесия моментов относительно точки опоры выглядит так:

$F_{весов} \cdot L = P_{чел} \cdot x + P_{доски} \cdot \frac{L}{2}$

где $F_{весов} = m_{весов} \cdot g$ – сила реакции опоры со стороны весов, $P_{чел} = m_{чел} \cdot g$ – вес человека, $P_{доски} = m_{доски} \cdot g$ – вес доски. Предполагается, что центр тяжести однородной доски находится посередине (на расстоянии $L/2$ от опоры). После сокращения на $g$ получаем:

$m_{весов} \cdot L = m_{чел} \cdot x + m_{доски} \cdot \frac{L}{2}$

Отсюда можно выразить искомую координату центра тяжести человека $x$:

$x = \frac{m_{весов} \cdot L - m_{доски} \cdot \frac{L}{2}}{m_{чел}}$

Этот метод позволяет определить положение ЦТ вдоль одной оси. Для нахождения трехмерных координат эксперимент нужно повторить в других плоскостях.

2. Расчетный (сегментарный) метод

Этот метод широко используется в биомеханике и основан на представлении тела человека как системы соединенных между собой твердых сегментов (голова, туловище, плечо, предплечье, кисть, бедро, голень, стопа и т.д.).

Метод включает следующие шаги:
1. Тело человека мысленно разделяется на конечное число сегментов.
2. Для каждого сегмента из специальных антропометрических таблиц (например, по Демпстеру) берутся данные о его относительной массе (в процентах от общей массы тела) и положении его собственного центра тяжести (например, на определенном расстоянии от проксимального сустава).
3. Зная позу человека, определяют координаты центров тяжести каждого сегмента ($x_i, y_i, z_i$) в общей системе координат.
4. Координаты общего центра тяжести тела ($x_{ЦТ}, y_{ЦТ}, z_{ЦТ}$) вычисляются по формулам для центра масс системы материальных точек:

$x_{ЦТ} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i x_i}{M}$, $y_{ЦТ} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i y_i}{M}$, $z_{ЦТ} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i z_i}{M}$

где $m_i$ — масса $i$-го сегмента, $M = \sum m_i$ — общая масса тела, а $n$ — общее число сегментов.

Этот метод позволяет рассчитать положение ЦТ для любой статической позы или в динамике (при анализе движений).

Ответ: Центр тяжести человека можно определить двумя основными способами: экспериментально (методом взвешивания на доске, один конец которой лежит на опоре, а другой — на весах, с последующим расчетом по правилу моментов) и расчетным (сегментарным) путем, рассматривая тело как систему отдельных сегментов с известными массами и положениями центров тяжести и вычисляя координаты общего центра масс по соответствующим формулам.