Номер 3, страница 48 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Задачи для самостоятельного решения. Параграф 12. Примеры решения задач по теме «Движение с постоянным ускорением». Глава 1. Кинематика точки и твёрдого тела - номер 3, страница 48.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Дано:

График зависимости проекции скорости тела от времени $v_x(t)$, представленный на рисунке 1.50.

Найти:

Построить график зависимости модуля перемещения тела от времени $s(t)$.

Решение:

Модуль перемещения тела $s$ за промежуток времени $t$ можно определить как площадь под графиком зависимости модуля скорости от времени. В данном случае, согласно графику, проекция скорости $v_x$ всегда неотрицательна ($v_x \ge 0$), следовательно, тело движется в одном направлении вдоль оси $Ox$. Поэтому модуль перемещения $s(t)$ равен самому перемещению $\Delta x(t)$ и равен пройденному пути. Перемещение, в свою очередь, численно равно площади фигуры под графиком зависимости $v_x(t)$.

Разобьем движение на два участка.

1. Участок от $t=0$ до $t=t_1$

На этом интервале времени тело движется с постоянным положительным ускорением (равноускоренно), так как зависимость $v_x(t)$ линейная и возрастающая. Скорость изменяется по закону $v_x(t) = a_1 t$, где $a_1$ — постоянное ускорение. Перемещение тела в момент времени $t$ ($0 \le t \le t_1$) равно площади треугольника с основанием $t$ и высотой $v_x(t) = a_1 t$.

$s(t) = \frac{1}{2} \cdot t \cdot v_x(t) = \frac{1}{2} t (a_1 t) = \frac{a_1 t^2}{2}$

Эта зависимость является квадратичной. График $s(t)$ на этом участке — это ветвь параболы, выходящая из начала координат, с ветвями, направленными вверх, так как $a_1 > 0$. Наклон касательной к графику $s(t)$ равен мгновенной скорости $v_x(t)$. Поскольку скорость на этом участке растет, наклон графика $s(t)$ также будет увеличиваться.

2. Участок от $t=t_1$ до $t=t_2$

На этом интервале времени тело движется с постоянным отрицательным ускорением (равнозамедленно), так как зависимость $v_x(t)$ линейная и убывающая. Скорость изменяется по закону $v_x(t) = v_{max} + a_2(t - t_1)$, где $v_{max}$ — максимальная скорость в момент $t_1$, а $a_2$ — постоянное отрицательное ускорение.

Перемещение в момент времени $t$ ($t_1 \le t \le t_2$) равно сумме площади первого треугольника (на участке от 0 до $t_1$) и площади трапеции под графиком на участке от $t_1$ до $t$.

$s(t) = s(t_1) + v_{max}(t - t_1) + \frac{a_2(t - t_1)^2}{2}$

где $s(t_1) = \frac{a_1 t_1^2}{2}$. Эта зависимость также является квадратичной. График $s(t)$ на этом участке — это ветвь параболы с ветвями, направленными вниз, так как $a_2 < 0$. Наклон касательной к графику $s(t)$ на этом участке уменьшается от значения $v_{max}$ в момент $t_1$ до нуля в момент $t_2$ (когда тело останавливается). В точке $t=t_1$ оба параболических участка плавно сопрягаются, так как мгновенная скорость (наклон) одинакова.

Итоговый график:

График зависимости модуля перемещения от времени $s(t)$ будет состоять из двух сопряженных параболических сегментов:

• На интервале $[0, t_1]$ — ветвь параболы, выпуклая вниз (ветви вверх), начинающаяся в точке (0, 0).
• На интервале $[t_1, t_2]$ — ветвь параболы, выпуклая вверх (ветви вниз), которая плавно продолжает первую.

В точке $t=t_2$ касательная к графику $s(t)$ будет горизонтальна, так как скорость в этот момент равна нулю.

Ответ: График зависимости модуля перемещения от времени представляет собой кривую, состоящую из двух плавно соединенных участков парабол. На интервале времени от $0$ до $t_1$ это ветвь параболы с ветвями вверх, а на интервале от $t_1$ до $t_2$ — ветвь параболы с ветвями вниз. График начинается в начале координат, его крутизна сначала растет, а после момента $t_1$ — убывает, становясь равной нулю в момент времени $t_2$.