Номер 2, страница 51 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Вопросы к параграфу. Параграф 13. Движение с постоянным ускорением свободного падения. Глава 1. Кинематика точки и твёрдого тела - номер 2, страница 51.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Дано:

Тело брошено с начальной скоростью $v_0$ под углом $\alpha$ к горизонту. Ускорение свободного падения равно $g$. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Найти:

$\alpha$ — угол, при котором дальность полёта $L$ максимальна.

Решение:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно представить как сумму двух независимых движений: равномерного по горизонтальной оси Ox и равноускоренного (с ускорением $-g$) по вертикальной оси Oy. Поместим начало координат в точку броска.

Запишем проекции начальной скорости на оси координат:

$v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)$

$v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)$

Уравнения, описывающие координаты тела в зависимости от времени $t$:

$x(t) = v_{0x} t = v_0 \cos(\alpha) \cdot t$

$y(t) = v_{0y} t - \frac{gt^2}{2} = v_0 \sin(\alpha) \cdot t - \frac{gt^2}{2}$

Для нахождения дальности полета сначала определим полное время полета $T$. Полет завершается, когда тело возвращается на начальную высоту, то есть когда его вертикальная координата $y(T)$ снова становится равной нулю.

$y(T) = v_0 \sin(\alpha) \cdot T - \frac{gT^2}{2} = 0$

Вынесем $T$ за скобки:

$T \left( v_0 \sin(\alpha) - \frac{gT}{2} \right) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $T_1 = 0$, что соответствует начальному моменту времени, и $T_2 = \frac{2v_0 \sin(\alpha)}{g}$, что соответствует моменту падения.

Таким образом, полное время полета составляет $T = \frac{2v_0 \sin(\alpha)}{g}$.

Дальность полета $L$ — это горизонтальное расстояние, пройденное телом за время $T$.

$L = x(T) = v_0 \cos(\alpha) \cdot T$

Подставим в это уравнение найденное выражение для времени полета $T$:

$L = v_0 \cos(\alpha) \cdot \frac{2v_0 \sin(\alpha)}{g} = \frac{v_0^2 \cdot 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)}{g}$

Для упрощения формулы воспользуемся тригонометрическим тождеством двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$.

Формула для дальности полета приобретает вид:

$L(\alpha) = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Теперь необходимо найти, при каком значении угла $\alpha$ дальность полета $L$ будет максимальной. В этой формуле начальная скорость $v_0$ и ускорение свободного падения $g$ являются постоянными величинами. Следовательно, дальность полета $L$ зависит только от значения $\sin(2\alpha)$.

Функция синуса принимает максимальное значение, равное 1.

Значит, $L$ будет максимальным, когда $\sin(2\alpha) = 1$.

Это условие выполняется, если аргумент синуса равен $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан).

$2\alpha = 90^\circ$

$\alpha = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$

Ответ: дальность полёта будет максимальна при угле бросания $45^\circ$.