Номер 2, страница 51 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Образцы заданий ЕГЭ. Параграф 13. Движение с постоянным ускорением свободного падения. Глава 1. Кинематика точки и твёрдого тела - номер 2, страница 51.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Дано:

Угол броска к горизонту, $\alpha = 30^\circ$

Максимальная скорость мяча, $v_{max} = 12 \text{ м/с}$

Найти:

Минимальная скорость мяча, $v_{min}$ - ?

Решение:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно рассматривать как совокупность двух независимых движений: равномерного по горизонтали и равноускоренного по вертикали. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Скорость мяча $\vec{v}$ в любой момент времени можно разложить на две составляющие: горизонтальную $v_x$ и вертикальную $v_y$. Модуль скорости (величина скорости) вычисляется по формуле: $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$.

Горизонтальная составляющая скорости $v_x$ на протяжении всего полета остается постоянной, так как в горизонтальном направлении силы не действуют. Она равна проекции начальной скорости $v_0$ на горизонтальную ось:

$v_x = v_0 \cos(\alpha)$

Вертикальная составляющая скорости $v_y$ изменяется под действием силы тяжести и в любой момент времени $t$ равна $v_y(t) = v_0 \sin(\alpha) - gt$, где $g$ — ускорение свободного падения.

Максимальная скорость мяча во время полета наблюдается в тот момент, когда его кинетическая энергия максимальна. Поскольку мяч брошен с поверхности земли, его потенциальная энергия минимальна в начальный и конечный моменты полета (на уровне земли). Следовательно, по закону сохранения энергии, кинетическая энергия, а значит и скорость, максимальны в начале и в конце полета. Таким образом, максимальная скорость, указанная в условии, — это начальная скорость мяча $v_0$.

$v_{max} = v_0 = 12 \text{ м/с}$

Минимальная скорость мяча достигается в тот момент, когда модуль скорости $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ принимает наименьшее значение. Так как $v_x$ является постоянной величиной, скорость $v$ будет минимальной, когда величина $v_y^2$ будет минимальна. Минимальное значение $v_y^2$ равно нулю, что соответствует $v_y = 0$. Это происходит в наивысшей точке траектории полета.

В верхней точке траектории вертикальная составляющая скорости равна нулю, и вся скорость мяча направлена горизонтально, то есть она равна своей горизонтальной составляющей:

$v_{min} = v_x$

Таким образом, для нахождения минимальной скорости нужно рассчитать горизонтальную составляющую начальной скорости:

$v_{min} = v_x = v_0 \cos(\alpha)$

Подставляем известные значения $v_0 = 12 \text{ м/с}$ и $\alpha = 30^\circ$:

$v_{min} = 12 \cdot \cos(30^\circ)$

Зная, что $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$v_{min} = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ м/с}$

Можно также вычислить приближенное значение: $6\sqrt{3} \approx 6 \cdot 1.732 \approx 10.39 \text{ м/с}$.

Ответ: минимальная скорость мяча во время полёта равна $6\sqrt{3}$ м/с.