Номер 4, страница 54 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Задачи для самостоятельного решения. Параграф 14. Примеры решения задач по теме «Движение с постоянным ускорением свободного падения». Глава 1. Кинематика точки и твёрдого тела - номер 4, страница 54.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Дано:

Начальная скорость: $v_0 = 20$ м/с

Угол броска к горизонту: $\alpha = 45^\circ$

Время: $t = 2$ с

Ускорение свободного падения: $g \approx 10$ м/с²

Найти:

Наибольшую высоту подъёма: $H_{max}$

Дальность полёта: $L$

Скорость в наивысшей точке траектории: $v_{top}$

Координаты в момент времени $t$: $x(t), y(t)$

Скорость в момент времени $t$: $v(t)$

Решение:

Движение мяча можно разложить на два независимых движения: равномерное по горизонтали (ось Ox) и равноускоренное по вертикали (ось Oy). Начало координат (0,0) поместим в точку броска.

Проекции начальной скорости на оси координат:

$v_{0x} = v_0 \cos\alpha = 20 \cdot \cos 45^\circ = 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2}$ м/с

$v_{0y} = v_0 \sin\alpha = 20 \cdot \sin 45^\circ = 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2}$ м/с

Уравнения движения:

Координаты:

$x(t) = v_{0x} t = (10\sqrt{2})t$

$y(t) = v_{0y} t - \frac{gt^2}{2} = (10\sqrt{2})t - 5t^2$

Проекции скорости:

$v_x(t) = v_{0x} = 10\sqrt{2}$

$v_y(t) = v_{0y} - gt = 10\sqrt{2} - 10t$

наибольшую высоту подъёма

В наивысшей точке траектории вертикальная составляющая скорости равна нулю: $v_y = 0$. Найдем время подъёма $t_{up}$:

$v_y(t_{up}) = v_{0y} - gt_{up} = 0 \implies t_{up} = \frac{v_{0y}}{g}$

$t_{up} = \frac{10\sqrt{2}}{10} = \sqrt{2} \approx 1.41$ с

Теперь подставим это время в уравнение для координаты $y$:

$H_{max} = y(t_{up}) = v_{0y}t_{up} - \frac{gt_{up}^2}{2} = \frac{v_{0y}^2}{g} - \frac{g}{2}\left(\frac{v_{0y}}{g}\right)^2 = \frac{v_{0y}^2}{2g}$

$H_{max} = \frac{(10\sqrt{2})^2}{2 \cdot 10} = \frac{100 \cdot 2}{20} = \frac{200}{20} = 10$ м

Ответ: наибольшая высота подъёма мяча составляет 10 м.

дальность полёта

Общее время полёта $T$ равно удвоенному времени подъёма до наивысшей точки (из-за симметрии траектории):

$T = 2t_{up} = 2\sqrt{2}$ с

Дальность полёта $L$ — это координата $x$ в момент времени $T$:

$L = x(T) = v_{0x}T = (10\sqrt{2}) \cdot (2\sqrt{2}) = 20 \cdot (\sqrt{2})^2 = 20 \cdot 2 = 40$ м

Можно также использовать формулу: $L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g} = \frac{20^2 \sin(2 \cdot 45^\circ)}{10} = \frac{400 \sin(90^\circ)}{10} = \frac{400 \cdot 1}{10} = 40$ м

Ответ: дальность полёта мяча равна 40 м.

скорость в наивысшей точке траектории

В наивысшей точке траектории вертикальная составляющая скорости $v_y$ обращается в нуль. Горизонтальная составляющая скорости $v_x$ остаётся постоянной на протяжении всего полёта.

$v_{top} = v_x = v_{0x} = 10\sqrt{2}$ м/с

$10\sqrt{2} \approx 10 \cdot 1.414 = 14.14$ м/с

Ответ: скорость в наивысшей точке траектории равна $10\sqrt{2}$ м/с (приблизительно 14.14 м/с) и направлена горизонтально.

скорость и координаты мяча через 2 с после начала движения

Подставим $t = 2$ с в уравнения движения.

Координаты:

$x(2) = (10\sqrt{2}) \cdot 2 = 20\sqrt{2} \approx 20 \cdot 1.414 = 28.28$ м

$y(2) = (10\sqrt{2}) \cdot 2 - 5 \cdot 2^2 = 20\sqrt{2} - 20 = 20(\sqrt{2}-1) \approx 20(1.414 - 1) = 20 \cdot 0.414 = 8.28$ м

Проекции скорости:

$v_x(2) = 10\sqrt{2} \approx 14.14$ м/с

$v_y(2) = 10\sqrt{2} - 10 \cdot 2 = 10\sqrt{2} - 20 = 10(\sqrt{2}-2) \approx 10(1.414 - 2) = -5.86$ м/с

(Знак "минус" у $v_y$ означает, что мяч уже прошёл высшую точку и движется вниз).

Модуль (величина) скорости:

$v(2) = \sqrt{v_x(2)^2 + v_y(2)^2} = \sqrt{(10\sqrt{2})^2 + (10\sqrt{2} - 20)^2} = \sqrt{200 + (200 - 400\sqrt{2} + 400)} = \sqrt{800 - 400\sqrt{2}} = \sqrt{400(2-\sqrt{2})} = 20\sqrt{2-\sqrt{2}}$ м/с

$v(2) \approx \sqrt{14.14^2 + (-5.86)^2} = \sqrt{199.94 + 34.34} = \sqrt{234.28} \approx 15.31$ м/с

Ответ: через 2 с после начала движения координаты мяча: $x = 20\sqrt{2}$ м ($\approx 28.28$ м), $y = 20(\sqrt{2}-1)$ м ($\approx 8.28$ м); скорость мяча равна $20\sqrt{2-\sqrt{2}}$ м/с ($\approx 15.31$ м/с).